ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzofzim GIF version

Theorem fzofzim 9488
Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzofzim ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9419 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀))
2 simpl1 942 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 necom 2333 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
4 nn0z 8666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
5 nn0z 8666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
6 zltlen 8721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
74, 5, 6syl2an 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
87bicomd 139 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9 elnn0z 8659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10 0red 7392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11 zre 8650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
13 nn0re 8574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1413adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
15 lelttr 7476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
17 elnnz 8656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1817simplbi2 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
195, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2019adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2116, 20syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
2221expd 254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2322impancom 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
249, 23sylbi 119 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2524imp 122 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
268, 25sylbid 148 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
2726expd 254 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝑀 ∈ ℕ)))
283, 27syl7bi 163 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
29283impia 1136 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ))
3029imp 122 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
318biimpd 142 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
3231exp4b 359 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))))
33323imp 1133 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))
343, 33syl5bi 150 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝐾 < 𝑀))
3534imp 122 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
362, 30, 353jca 1119 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
3736ex 113 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
381, 37sylbi 119 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
3938impcom 123 . 2 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40 elfzo0 9482 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
4139, 40sylibr 132 1 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434  wne 2249   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591  cr 7252  0cc0 7253   < clt 7425  cle 7426  cn 8316  0cn0 8565  cz 8646  ...cfz 9319  ..^cfzo 9443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-fz 9320  df-fzo 9444
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator