ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzofzim GIF version

Theorem fzofzim 9564
Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzofzim ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9493 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀))
2 simpl1 946 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 necom 2339 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
4 nn0z 8740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
5 nn0z 8740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
6 zltlen 8795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
74, 5, 6syl2an 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
87bicomd 139 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9 elnn0z 8733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11 zre 8724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
13 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1413adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
15 lelttr 7552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
17 elnnz 8730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1817simplbi2 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
195, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2019adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2116, 20syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
2221expd 254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2322impancom 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
249, 23sylbi 119 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2524imp 122 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
268, 25sylbid 148 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
2726expd 254 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝑀 ∈ ℕ)))
283, 27syl7bi 163 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
29283impia 1140 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ))
3029imp 122 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
318biimpd 142 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
3231exp4b 359 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))))
33323imp 1137 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))
343, 33syl5bi 150 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝐾 < 𝑀))
3534imp 122 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
362, 30, 353jca 1123 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
3736ex 113 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
381, 37sylbi 119 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
3938impcom 123 . 2 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40 elfzo0 9558 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
4139, 40sylibr 132 1 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wcel 1438  wne 2255   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329   < clt 7501  cle 7502  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  ...cfz 9393  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator