Theorem fzofzim 10123

Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzim	⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10047	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀))
2		simpl1 990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		necom 2420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 𝐾)
4		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		zltlen 9269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
8	7	bicomd 140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9		elnn0z 9204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		0red 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 9195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		nn0re 9123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
15		lelttr 7987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
17		elnnz 9201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
18	17	simplbi2 383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
19	5, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
21	16, 20	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
22	21	expd 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
23	22	impancom 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
24	9, 23	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
25	24	imp 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
26	8, 25	sylbid 149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
27	26	expd 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝑀 ∈ ℕ)))
28	3, 27	syl7bi 164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
29	28	3impia 1190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
30	29	imp 123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	8	biimpd 143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
32	31	exp4b 365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))))
33	32	3imp 1183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))
34	3, 33	syl5bi 151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 < 𝑀))
35	34	imp 123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
36	2, 30, 35	3jca 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
37	36	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
38	1, 37	sylbi 120	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
39	38	impcom 124	. 2 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40		elfzo0 10117	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
41	39, 40	sylibr 133	1 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ...cfz 9944  ..^cfzo 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by: (None)