ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulpipq2 GIF version

Theorem mulpipq2 7370
Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulpipq2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)

Proof of Theorem mulpipq2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xp1st 6166 . . . 4 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ N)
2 xp1st 6166 . . . 4 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N)
3 mulclpi 7327 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (1st โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
41, 2, 3syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
5 xp2nd 6167 . . . 4 (๐ด โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N)
6 xp2nd 6167 . . . 4 (๐ต โˆˆ (N ร— N) โ†’ (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N)
7 mulclpi 7327 . . . 4 (((2nd โ€˜๐ด) โˆˆ N โˆง (2nd โ€˜๐ต) โˆˆ N) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
85, 6, 7syl2an 289 . . 3 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N)
9 opexg 4229 . . 3 ((((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)) โˆˆ N โˆง ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) โˆˆ N) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โˆˆ V)
104, 8, 9syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โˆˆ V)
11 fveq2 5516 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1st โ€˜๐‘ฅ) = (1st โ€˜๐ด))
1211oveq1d 5890 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)))
13 fveq2 5516 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฅ) = (2nd โ€˜๐ด))
1413oveq1d 5890 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)))
1512, 14opeq12d 3787 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
16 fveq2 5516 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (1st โ€˜๐‘ฆ) = (1st โ€˜๐ต))
1716oveq2d 5891 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)) = ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)))
18 fveq2 5516 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (2nd โ€˜๐‘ฆ) = (2nd โ€˜๐ต))
1918oveq2d 5891 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ)) = ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)))
2017, 19opeq12d 3787 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
21 df-mpq 7344 . . 3 ยทpQ = (๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N), ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N) โ†ฆ โŸจ((1st โ€˜๐‘ฅ) ยทN (1st โ€˜๐‘ฆ)), ((2nd โ€˜๐‘ฅ) ยทN (2nd โ€˜๐‘ฆ))โŸฉ)
2215, 20, 21ovmpog 6009 . 2 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N) โˆง โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ โˆˆ V) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
2310, 22mpd3an3 1338 1 ((๐ด โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ (๐ด ยทpQ ๐ต) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทN (1st โ€˜๐ต)), ((2nd โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต))โŸฉ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  Vcvv 2738  โŸจcop 3596   ร— cxp 4625  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  1st c1st 6139  2nd c2nd 6140  Ncnpi 7271   ยทN cmi 7273   ยทpQ cmpq 7276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-ni 7303  df-mi 7305  df-mpq 7344
This theorem is referenced by:  mulpipq  7371
  Copyright terms: Public domain W3C validator