Theorem ovmpog 6145

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpog.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpog.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
2		ovmpog.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
3	1, 2	sylan9eq 2282	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
4		ovmpog.3	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	3, 4	ovmpoga 6140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012

This theorem is referenced by:  ovmpo  6146  oav  6608  omv  6609  oeiv  6610  mapvalg  6813  pmvalg  6814  mulpipq2  7566  genipv  7704  genpelxp  7706  subval  8346  divvalap  8829  cnref1o  9854  modqval  10554  frecuzrdgrrn  10638  frec2uzrdg  10639  frecuzrdgrcl  10640  frecuzrdgsuc  10644  frecuzrdgrclt  10645  frecuzrdgg  10646  frecuzrdgsuctlem  10653  seq3val  10690  seqvalcd  10691  seqf  10694  seq3p1  10695  seqovcd  10697  seqp1cd  10700  exp3val  10771  bcval  10979  ccatfvalfi  11135  shftfvalg  11337  shftfval  11340  cnrecnv  11429  gcdval  12488  sqpweven  12705  2sqpwodd  12706  ennnfonelemp1  12985  nninfdclemcl  13027  nninfdclemp1  13029  ressvalsets  13105  imasex  13346  qusex  13366  mhmex  13503  releqgg  13765  eqgex  13766  isghm  13788  gsumfzfsumlemm  14559  cnfldui  14561  expghmap  14579  cnprcl2k  14888  xmetxp  15189  expcn  15251  cncfval  15254  dvply2g  15448  rpcxpef  15576  rplogbval  15627  mpodvdsmulf1o  15672  fsumdvdsmul  15673