Theorem ovmpog 6151

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. Special case. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpog.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
ovmpog.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
ovmpog.3	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ovmpog	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpog

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpog.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑅 = 𝐺)
2		ovmpog.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝐺 = 𝑆)
3	1, 2	sylan9eq 2282	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
4		ovmpog.3	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
5	3, 4	ovmpoga 6146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013   ∈ cmpo 6015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018

This theorem is referenced by:  ovmpo  6152  oav  6617  omv  6618  oeiv  6619  mapvalg  6822  pmvalg  6823  mulpipq2  7584  genipv  7722  genpelxp  7724  subval  8364  divvalap  8847  cnref1o  9878  modqval  10579  frecuzrdgrrn  10663  frec2uzrdg  10664  frecuzrdgrcl  10665  frecuzrdgsuc  10669  frecuzrdgrclt  10670  frecuzrdgg  10671  frecuzrdgsuctlem  10678  seq3val  10715  seqvalcd  10716  seqf  10719  seq3p1  10720  seqovcd  10722  seqp1cd  10725  exp3val  10796  bcval  11004  ccatfvalfi  11162  shftfvalg  11372  shftfval  11375  cnrecnv  11464  gcdval  12523  sqpweven  12740  2sqpwodd  12741  ennnfonelemp1  13020  nninfdclemcl  13062  nninfdclemp1  13064  ressvalsets  13140  imasex  13381  qusex  13401  mhmex  13538  releqgg  13800  eqgex  13801  isghm  13823  gsumfzfsumlemm  14594  cnfldui  14596  expghmap  14614  cnprcl2k  14923  xmetxp  15224  expcn  15286  cncfval  15289  dvply2g  15483  rpcxpef  15611  rplogbval  15662  mpodvdsmulf1o  15707  fsumdvdsmul  15708  clwwlknon  16238  gfsumval  16630