Theorem nn1m1nn 9053

Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn1m1nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 713	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ))
2		1cnd 8087	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 175	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ 1 ∈ ℂ))
4		eqeq1 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5		oveq1 5950	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 1) = (𝑦 − 1))
6	5	eleq1d 2273	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
7	4, 6	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ)))
8		eqeq1 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
9		oveq1 5950	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
10	9	eleq1d 2273	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
11	8, 10	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
12		eqeq1 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
13		oveq1 5950	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 1) = (𝐴 − 1))
14	13	eleq1d 2273	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
15	12, 14	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ)))
16		ax-1cn 8017	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		nncn 9043	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		pncan 8277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
19	17, 16, 18	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
20		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
21	19, 20	eqeltrd 2281	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
22	21	olcd 735	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
23	22	a1d 22	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
24	3, 7, 11, 15, 16, 23	nnind 9051	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  1c1 7925   + caddc 7927   − cmin 8242  ℕcn 9035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-sub 8244  df-inn 9036

This theorem is referenced by:  nn1suc  9054  nnsub  9074  nnm1nn0  9335  nn0ge2m1nn  9354