Theorem nn1m1nn 9000

Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn1m1nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 713	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ))
2		1cnd 8035	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 175	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ 1 ∈ ℂ))
4		eqeq1 2200	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5		oveq1 5925	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 1) = (𝑦 − 1))
6	5	eleq1d 2262	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
7	4, 6	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ)))
8		eqeq1 2200	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
9		oveq1 5925	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
10	9	eleq1d 2262	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
11	8, 10	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
12		eqeq1 2200	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
13		oveq1 5925	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 1) = (𝐴 − 1))
14	13	eleq1d 2262	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
15	12, 14	orbi12d 794	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ)))
16		ax-1cn 7965	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		nncn 8990	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		pncan 8225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
19	17, 16, 18	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
20		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
21	19, 20	eqeltrd 2270	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
22	21	olcd 735	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
23	22	a1d 22	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
24	3, 7, 11, 15, 16, 23	nnind 8998	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   + caddc 7875   − cmin 8190  ℕcn 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-inn 8983

This theorem is referenced by:  nn1suc  9001  nnsub  9021  nnm1nn0  9281  nn0ge2m1nn  9300