Theorem nn1m1nn 8940

Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn1m1nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 712	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ))
2		1cnd 7976	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 175	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ 1 ∈ ℂ))
4		eqeq1 2184	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5		oveq1 5885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 1) = (𝑦 − 1))
6	5	eleq1d 2246	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
7	4, 6	orbi12d 793	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ)))
8		eqeq1 2184	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
9		oveq1 5885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
10	9	eleq1d 2246	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
11	8, 10	orbi12d 793	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
12		eqeq1 2184	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
13		oveq1 5885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 1) = (𝐴 − 1))
14	13	eleq1d 2246	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
15	12, 14	orbi12d 793	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ)))
16		ax-1cn 7907	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		nncn 8930	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		pncan 8166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
19	17, 16, 18	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
20		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
21	19, 20	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
22	21	olcd 734	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
23	22	a1d 22	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
24	3, 7, 11, 15, 16, 23	nnind 8938	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  1c1 7815   + caddc 7817   − cmin 8131  ℕcn 8922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sub 8133  df-inn 8923

This theorem is referenced by:  nn1suc  8941  nnsub  8961  nnm1nn0  9220  nn0ge2m1nn  9239