Theorem nn1m1nn 8731

Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn1m1nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 701	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ))
2		1cnd 7775	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	2thd 174	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ 1 ∈ ℂ))
4		eqeq1 2144	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5		oveq1 5774	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 1) = (𝑦 − 1))
6	5	eleq1d 2206	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
7	4, 6	orbi12d 782	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ)))
8		eqeq1 2144	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
9		oveq1 5774	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
10	9	eleq1d 2206	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
11	8, 10	orbi12d 782	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
12		eqeq1 2144	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
13		oveq1 5774	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 1) = (𝐴 − 1))
14	13	eleq1d 2206	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
15	12, 14	orbi12d 782	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ)))
16		ax-1cn 7706	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		nncn 8721	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		pncan 7961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
19	17, 16, 18	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
20		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
21	19, 20	eqeltrd 2214	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
22	21	olcd 723	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
23	22	a1d 22	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
24	3, 7, 11, 15, 16, 23	nnind 8729	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  1c1 7614   + caddc 7616   − cmin 7926  ℕcn 8713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-inn 8714

This theorem is referenced by:  nn1suc  8732  nnsub  8752  nnm1nn0  9011  nn0ge2m1nn  9030