ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn1m1nn GIF version

Theorem nn1m1nn 8967
Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn1m1nn (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 713 . . 3 (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ))
2 1cnd 8003 . . 3 (𝑥 = 1 → 1 ∈ ℂ)
31, 22thd 175 . 2 (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ 1 ∈ ℂ))
4 eqeq1 2196 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5 oveq1 5903 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 1) = (𝑦 − 1))
65eleq1d 2258 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
74, 6orbi12d 794 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ)))
8 eqeq1 2196 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
9 oveq1 5903 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
109eleq1d 2258 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
118, 10orbi12d 794 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
12 eqeq1 2196 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
13 oveq1 5903 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 1) = (𝐴 − 1))
1413eleq1d 2258 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
1512, 14orbi12d 794 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ)))
16 ax-1cn 7934 . 2 1 ∈ ℂ
17 nncn 8957 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18 pncan 8193 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1917, 16, 18sylancl 413 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
20 id 19 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
2119, 20eqeltrd 2266 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
2221olcd 735 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
2322a1d 22 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
243, 7, 11, 15, 16, 23nnind 8965 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  (class class class)co 5896  cc 7839  1c1 7842   + caddc 7844  cmin 8158  cn 8949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-cnre 7952
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-sub 8160  df-inn 8950
This theorem is referenced by:  nn1suc  8968  nnsub  8988  nnm1nn0  9247  nn0ge2m1nn  9266
  Copyright terms: Public domain W3C validator