ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn1m1nn GIF version

Theorem nn1m1nn 8412
Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn1m1nn (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 668 . . 3 (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ))
2 1cnd 7483 . . 3 (𝑥 = 1 → 1 ∈ ℂ)
31, 22thd 173 . 2 (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ 1 ∈ ℂ))
4 eqeq1 2094 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5 oveq1 5641 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 1) = (𝑦 − 1))
65eleq1d 2156 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
74, 6orbi12d 742 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ)))
8 eqeq1 2094 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
9 oveq1 5641 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
109eleq1d 2156 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
118, 10orbi12d 742 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
12 eqeq1 2094 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
13 oveq1 5641 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 1) = (𝐴 − 1))
1413eleq1d 2156 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
1512, 14orbi12d 742 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ)))
16 ax-1cn 7417 . 2 1 ∈ ℂ
17 nncn 8402 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18 pncan 7667 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1917, 16, 18sylancl 404 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
20 id 19 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
2119, 20eqeltrd 2164 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
2221olcd 688 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
2322a1d 22 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
243, 7, 11, 15, 16, 23nnind 8410 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  (class class class)co 5634  cc 7327  1c1 7330   + caddc 7332  cmin 7632  cn 8394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-sub 7634  df-inn 8395
This theorem is referenced by:  nn1suc  8413  nnsub  8432  nnm1nn0  8684  nn0ge2m1nn  8703
  Copyright terms: Public domain W3C validator