ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn1m1nn GIF version

Theorem nn1m1nn 8332
Description: Every positive integer is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn1m1nn (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nn1m1nn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 666 . . 3 (𝑥 = 1 → (𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ))
2 1cnd 7405 . . 3 (𝑥 = 1 → 1 ∈ ℂ)
31, 22thd 173 . 2 (𝑥 = 1 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ 1 ∈ ℂ))
4 eqeq1 2089 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 1 ↔ 𝑦 = 1))
5 oveq1 5596 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 1) = (𝑦 − 1))
65eleq1d 2151 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 1) ∈ ℕ))
74, 6orbi12d 740 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ)))
8 eqeq1 2089 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 = 1 ↔ (𝑦 + 1) = 1))
9 oveq1 5596 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
109eleq1d 2151 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
118, 10orbi12d 740 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
12 eqeq1 2089 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 1 ↔ 𝐴 = 1))
13 oveq1 5596 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 − 1) = (𝐴 − 1))
1413eleq1d 2151 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 − 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
1512, 14orbi12d 740 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = 1 ∨ (𝑥 − 1) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ)))
16 ax-1cn 7339 . 2 1 ∈ ℂ
17 nncn 8322 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
18 pncan 7589 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1917, 16, 18sylancl 404 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
20 id 19 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
2119, 20eqeltrd 2159 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
2221olcd 686 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
2322a1d 22 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 = 1 ∨ (𝑦 − 1) ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = 1 ∨ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)))
243, 7, 11, 15, 16, 23nnind 8330 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5589  cc 7249  1c1 7252   + caddc 7254  cmin 7554  cn 8314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-addcom 7346  ax-addass 7348  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-cnre 7357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-sub 7556  df-inn 8315
This theorem is referenced by:  nn1suc  8333  nnsub  8352  nnm1nn0  8604  nn0ge2m1nn  8623
  Copyright terms: Public domain W3C validator