Theorem nnprlu 7681

Description: The canonical embedding of positive integers into the positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnprlu	⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ ∈ P)

Distinct variable group:   𝐴,𝑙,𝑢

Proof of Theorem nnprlu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnq 7550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
2		nqprlu 7675	. 2 ⊢ ([⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q }, {𝑢 ∣ [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q <Q 𝑢}⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  {cab 2192  ⟨cop 3640   class class class wbr 4050  1_oc1o 6507  [cec 6630  Ncnpi 7400   ~_Q ceq 7407  Qcnq 7408   <_Q cltq 7413  Pcnp 7419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-eprel 4343  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-irdg 6468  df-1o 6514  df-oadd 6518  df-omul 6519  df-er 6632  df-ec 6634  df-qs 6638  df-ni 7432  df-pli 7433  df-mi 7434  df-lti 7435  df-plpq 7472  df-mpq 7473  df-enq 7475  df-nqqs 7476  df-plqqs 7477  df-mqqs 7478  df-1nqqs 7479  df-rq 7480  df-ltnqqs 7481  df-inp 7594

This theorem is referenced by:  archpr  7771  archsr  7910  pitonnlem2  7975  pitonn  7976  pitoregt0  7977  pitore  7978  recidpirq  7986