ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remetdval GIF version

Theorem remetdval 13932
Description: Value of the distance function of the metric space of real numbers. (Contributed by NM, 16-May-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
remetdval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem remetdval
StepHypRef Expression
1 df-ov 5877 . . 3 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
32fveq1i 5516 . . 3 (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
41, 3eqtri 2198 . 2 (𝐴𝐷𝐵) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 opelxpi 4658 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
6 fvres 5539 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
75, 6syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
8 df-ov 5877 . . . 4 (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9 recn 7943 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 recn 7943 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 eqid 2177 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1211cnmetdval 13922 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
139, 10, 12syl2an 289 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
148, 13eqtr3id 2224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴𝐵)))
157, 14eqtrd 2210 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴𝐵)))
164, 15eqtrid 2222 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3595   × cxp 4624  cres 4628  ccom 4630  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  cmin 8126  abscabs 11001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-sub 8128
This theorem is referenced by:  bl2ioo  13935
  Copyright terms: Public domain W3C validator