Theorem remetdval 15341

Description: Value of the distance function of the metric space of real numbers. (Contributed by NM, 16-May-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
remetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem remetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6031	. . 3 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		remet.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3	2	fveq1i 5649	. . 3 ⊢ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4	1, 3	eqtri 2252	. 2 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5		opelxpi 4763	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
6		fvres 5672	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
8		df-ov 6031	. . . 4 ⊢ (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9		recn 8208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		recn 8208	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
12	11	cnmetdval 15323	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
13	9, 10, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
14	8, 13	eqtr3id 2278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
15	7, 14	eqtrd 2264	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
16	4, 15	eqtrid 2276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3676   × cxp 4729   ↾ cres 4733   ∘ ccom 4735  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074   − cmin 8392  abscabs 11620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-sub 8394

This theorem is referenced by:  bl2ioo  15344