Theorem remetdval 14726

Description: Value of the distance function of the metric space of real numbers. (Contributed by NM, 16-May-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
remetdval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem remetdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5922	. . 3 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		remet.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3	2	fveq1i 5556	. . 3 ⊢ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4	1, 3	eqtri 2214	. 2 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5		opelxpi 4692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
6		fvres 5579	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
8		df-ov 5922	. . . 4 ⊢ (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9		recn 8007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		recn 8007	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
12	11	cnmetdval 14708	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
13	9, 10, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
14	8, 13	eqtr3id 2240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
15	7, 14	eqtrd 2226	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
16	4, 15	eqtrid 2238	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3622   × cxp 4658   ↾ cres 4662   ∘ ccom 4664  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873   − cmin 8192  abscabs 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-sub 8194

This theorem is referenced by:  bl2ioo  14729