Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remetdval GIF version

Theorem remetdval 12767
 Description: Value of the distance function of the metric space of real numbers. (Contributed by NM, 16-May-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
remetdval ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem remetdval
StepHypRef Expression
1 df-ov 5786 . . 3 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
32fveq1i 5431 . . 3 (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
41, 3eqtri 2161 . 2 (𝐴𝐷𝐵) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 opelxpi 4580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
6 fvres 5454 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
75, 6syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
8 df-ov 5786 . . . 4 (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
9 recn 7797 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 recn 7797 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 eqid 2140 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1211cnmetdval 12757 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
139, 10, 12syl2an 287 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
148, 13syl5eqr 2187 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − )‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴𝐵)))
157, 14eqtrd 2173 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (abs‘(𝐴𝐵)))
164, 15syl5eq 2185 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3536   × cxp 4546   ↾ cres 4550   ∘ ccom 4552  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  ℂcc 7662  ℝcr 7663   − cmin 7977  abscabs 10821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-sub 7979 This theorem is referenced by:  bl2ioo  12770
 Copyright terms: Public domain W3C validator