Theorem ringadd2 13523

Description: A ring element plus itself is two times the element. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringadd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringadd2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringadd2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringadd2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   + (𝑥)

Proof of Theorem ringadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringadd2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringadd2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3	1, 2	ringid 13522	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋))
4		oveq12 5927	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑥 · 𝑋) = 𝑋) → ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
5	4	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
6	5	eqcomd 2199	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
7		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		ringadd2.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑅)
11	1, 10, 2	ringdir 13515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
12	7, 8, 8, 9, 11	syl13anc 1251	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
13	12	eqeq2d 2205	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) ↔ (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋))))
14	6, 13	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
15	14	adantrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋) → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
16	15	reximdva 2596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
17	3, 16	mpd 13	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  Ringcrg 13492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494

This theorem is referenced by: (None)