Theorem ringadd2 13023

Description: A ring element plus itself is two times the element. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringadd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringadd2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
ringadd2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringadd2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   + (𝑥)

Proof of Theorem ringadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringadd2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringadd2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3	1, 2	ringid 13022	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋))
4		oveq12 5877	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑥 · 𝑋) = 𝑋) → ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
5	4	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
6	5	eqcomd 2183	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
7		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		ringadd2.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑅)
11	1, 10, 2	ringdir 13015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
12	7, 8, 8, 9, 11	syl13anc 1240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
13	12	eqeq2d 2189	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) ↔ (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋))))
14	6, 13	syl5ibr 156	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
15	14	adantrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋) → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
16	15	reximdva 2579	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
17	3, 16	mpd 13	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  ‘cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +_gcplusg 12505  ._rcmulr 12506  Ringcrg 12992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-mgp 12945  df-ur 12956  df-ring 12994

This theorem is referenced by: (None)