Theorem znbas 14723

Description: The base set of ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znbas.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znbas.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbas.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
znbas	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem znbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s 𝑅) = (ℤring /s 𝑅))
2		zringbas 14675	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤ = (Base‘ℤring))
4		znbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
5		zringring 14672	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		znbas.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
7		rspex 14553	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2304	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
10		snexg 4280	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
11		fvexg 5667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
13		eqgex 13871	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
14	5, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
15	4, 14	eqeltrid 2318	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ V)
16	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤring ∈ Ring)
17	1, 3, 15, 16	qusbas 13473	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘(ℤring /s 𝑅)))
18	4	oveq2i 6039	. . 3 ⊢ (ℤring /s 𝑅) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
19		znbas.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20	6, 18, 19	znbas2 14719	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s 𝑅)) = (Base‘𝑌))
21	17, 20	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  {csn 3673  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   / cqs 6744  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  Basecbs 13145   /_s cqus 13446   ~_QG cqg 13819  Ringcrg 14073  RSpancrsp 14547  ℤ_ringczring 14669  ℤ/nℤczn 14692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-ec 6747  df-qs 6751  df-map 6862  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-rp 9933  df-fz 10289  df-cj 11465  df-abs 11622  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-starv 13238  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-ip 13241  df-tset 13242  df-ple 13243  df-ds 13245  df-unif 13246  df-0g 13404  df-topgen 13406  df-iimas 13448  df-qus 13449  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-subg 13820  df-eqg 13822  df-cmn 13936  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-cring 14076  df-rhm 14230  df-subrg 14297  df-lsp 14466  df-sra 14514  df-rgmod 14515  df-rsp 14549  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-fg 14628  df-metu 14629  df-cnfld 14636  df-zring 14670  df-zrh 14693  df-zn 14695

This theorem is referenced by:  znzrhfo  14727