Theorem znbas 14923

Description: The base set of ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znbas.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znbas.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbas.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
znbas	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem znbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s 𝑅) = (ℤring /s 𝑅))
2		zringbas 14875	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤ = (Base‘ℤring))
4		znbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
5		zringring 14872	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		znbas.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
7		rspex 14755	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2307	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
10		snexg 4303	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
11		fvexg 5696	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
13		eqgex 13973	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
14	5, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
15	4, 14	eqeltrid 2321	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ V)
16	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤring ∈ Ring)
17	1, 3, 15, 16	qusbas 13597	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘(ℤring /s 𝑅)))
18	4	oveq2i 6071	. . 3 ⊢ (ℤring /s 𝑅) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
19		znbas.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20	6, 18, 19	znbas2 14919	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s 𝑅)) = (Base‘𝑌))
21	17, 20	eqtrd 2267	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  {csn 3695  ‘cfv 5359  (class class class)co 6060   / cqs 6781  ℕ₀cn0 9518  ℤcz 9599  Basecbs 13302   /_s cqus 13572   ~_QG cqg 13921  Ringcrg 14246  RSpancrsp 14749  ℤ_ringczring 14869  ℤ/nℤczn 14892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-addf 8267  ax-mulf 8268

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-ec 6784  df-qs 6788  df-map 6899  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-dec 9733  df-uz 9877  df-rp 10010  df-fz 10367  df-cj 11557  df-abs 11715  df-struct 13304  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-sets 13309  df-iress 13310  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-starv 13395  df-sca 13396  df-vsca 13397  df-ip 13398  df-tset 13399  df-ple 13400  df-ds 13402  df-unif 13403  df-0g 13561  df-topgen 13563  df-iimas 13573  df-qus 13574  df-mgm 13625  df-sgrp 13666  df-mnd 13679  df-grp 13757  df-minusg 13758  df-subg 13922  df-eqg 13924  df-cmn 14038  df-mgp 14167  df-ur 14210  df-ring 14248  df-cring 14249  df-rhm 14404  df-subrg 14472  df-lsp 14668  df-sra 14716  df-rgmod 14717  df-rsp 14751  df-bl 14827  df-mopn 14828  df-fg 14830  df-metu 14831  df-cnfld 14838  df-zring 14870  df-zrh 14893  df-zn 14895

This theorem is referenced by:  znzrhfo  14927