Theorem znbas 14657

Description: The base set of ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znbas.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znbas.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znbas.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
znbas	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem znbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s 𝑅) = (ℤring /s 𝑅))
2		zringbas 14609	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤ = (Base‘ℤring))
4		znbas.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
5		zringring 14606	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		znbas.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
7		rspex 14487	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
9	6, 8	eqeltri 2304	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
10		snexg 4274	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
11		fvexg 5658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
13		eqgex 13807	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
14	5, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
15	4, 14	eqeltrid 2318	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ V)
16	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤring ∈ Ring)
17	1, 3, 15, 16	qusbas 13409	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘(ℤring /s 𝑅)))
18	4	oveq2i 6028	. . 3 ⊢ (ℤring /s 𝑅) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
19		znbas.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20	6, 18, 19	znbas2 14653	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s 𝑅)) = (Base‘𝑌))
21	17, 20	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / 𝑅) = (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  {csn 3669  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   / cqs 6700  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  Basecbs 13081   /_s cqus 13382   ~_QG cqg 13755  Ringcrg 14008  RSpancrsp 14481  ℤ_ringczring 14603  ℤ/nℤczn 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-ec 6703  df-qs 6707  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-cj 11402  df-abs 11559  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-tset 13178  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182  df-0g 13340  df-topgen 13342  df-iimas 13384  df-qus 13385  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-subg 13756  df-eqg 13758  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-cring 14011  df-rhm 14165  df-subrg 14232  df-lsp 14400  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-rsp 14483  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-fg 14562  df-metu 14563  df-cnfld 14570  df-zring 14604  df-zrh 14627  df-zn 14629

This theorem is referenced by:  znzrhfo  14661