Theorem znzrhfo 14577

Description: The ℤ ring homomorphism is a surjection onto ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrhfo.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrhfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
znzrhfo.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrhfo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)

Proof of Theorem znzrhfo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2210	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
2		zringbas 14525	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤ = (Base‘ℤring))
4		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
5		zringring 14522	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		rspex 14403	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
8		snexg 4247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
9		fvexg 5622	. . . . . 6 ⊢ (((RSpan‘ℤring) ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ V)
11		eqgex 13724	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ∈ V)
12	5, 10, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ∈ V)
13	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤring ∈ Ring)
14	1, 3, 4, 12, 13	quslem 13323	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
15		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
16		znzrhfo.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
17		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
18	15, 16, 17	znbas 14573	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (Base‘𝑌))
19		znzrhfo.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20	18, 19	eqtr4di 2260	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = 𝐵)
21		foeq3 5522	. . . 4 ⊢ ((ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
22	20, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
23	14, 22	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵)
24		znzrhfo.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
25	15, 17, 16, 24	znzrh2 14575	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
26		foeq1 5520	. . 3 ⊢ (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) → (𝐿:ℤ–onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
27	25, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿:ℤ–onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
28	23, 27	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779  {csn 3646   ↦ cmpt 4124  –onto→wfo 5292  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  [cec 6648   / cqs 6649  ℕ₀cn0 9337  ℤcz 9414  Basecbs 12998   /_s cqus 13299   ~_QG cqg 13672  Ringcrg 13925  RSpancrsp 14397  ℤ_ringczring 14519  ℤRHomczrh 14540  ℤ/nℤczn 14542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-addf 8089  ax-mulf 8090

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-tpos 6361  df-recs 6421  df-frec 6507  df-er 6650  df-ec 6652  df-qs 6656  df-map 6767  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-cj 11319  df-abs 11476  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-starv 13091  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-unif 13099  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-iimas 13301  df-qus 13302  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-mhm 13458  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-sbg 13504  df-mulg 13623  df-subg 13673  df-nsg 13674  df-eqg 13675  df-ghm 13744  df-cmn 13789  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-rng 13862  df-ur 13889  df-srg 13893  df-ring 13927  df-cring 13928  df-oppr 13997  df-rhm 14081  df-subrg 14148  df-lmod 14218  df-lssm 14282  df-lsp 14316  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398  df-rsp 14399  df-2idl 14429  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-fg 14478  df-metu 14479  df-cnfld 14486  df-zring 14520  df-zrh 14543  df-zn 14545

This theorem is referenced by:  znf1o  14580  znidom  14586  znunit  14588  znrrg  14589