Theorem znzrhfo 14454

Description: The ℤ ring homomorphism is a surjection onto ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrhfo.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrhfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
znzrhfo.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrhfo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)

Proof of Theorem znzrhfo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2207	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
2		zringbas 14402	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤ = (Base‘ℤring))
4		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
5		zringring 14399	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
6		rspex 14280	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
8		snexg 4232	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
9		fvexg 5602	. . . . . 6 ⊢ (((RSpan‘ℤring) ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ V)
11		eqgex 13601	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ∈ V)
12	5, 10, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ∈ V)
13	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℤring ∈ Ring)
14	1, 3, 4, 12, 13	quslem 13200	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
15		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
16		znzrhfo.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
17		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
18	15, 16, 17	znbas 14450	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (Base‘𝑌))
19		znzrhfo.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
20	18, 19	eqtr4di 2257	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = 𝐵)
21		foeq3 5503	. . . 4 ⊢ ((ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
22	20, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→(ℤ / (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
23	14, 22	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵)
24		znzrhfo.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
25	15, 17, 16, 24	znzrh2 14452	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
26		foeq1 5501	. . 3 ⊢ (𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) → (𝐿:ℤ–onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
27	25, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿:ℤ–onto→𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))):ℤ–onto→𝐵))
28	23, 27	mpbird 167	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  {csn 3634   ↦ cmpt 4109  –onto→wfo 5274  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  [cec 6625   / cqs 6626  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  Basecbs 12876   /_s cqus 13176   ~_QG cqg 13549  Ringcrg 13802  RSpancrsp 14274  ℤ_ringczring 14396  ℤRHomczrh 14417  ℤ/nℤczn 14419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-tpos 6338  df-recs 6398  df-frec 6484  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-map 6744  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-seqfrec 10600  df-cj 11197  df-abs 11354  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-iimas 13178  df-qus 13179  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mhm 13335  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mulg 13500  df-subg 13550  df-nsg 13551  df-eqg 13552  df-ghm 13621  df-cmn 13666  df-abl 13667  df-mgp 13727  df-rng 13739  df-ur 13766  df-srg 13770  df-ring 13804  df-cring 13805  df-oppr 13874  df-rhm 13958  df-subrg 14025  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-lsp 14193  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-rsp 14276  df-2idl 14306  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-zring 14397  df-zrh 14420  df-zn 14422

This theorem is referenced by:  znf1o  14457  znidom  14463  znunit  14465  znrrg  14466