Theorem znzrhval 14619

Description: The ℤ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r	⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrhval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴] ∼ )

Proof of Theorem znzrhval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znzrh2.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
3		znzrh2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		znzrh2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znzrh2 14618	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))
6	5	fveq1d 5631	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴))
7	6	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴))
8		eqid 2229	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )
9		eceq1 6723	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → [𝑥] ∼ = [𝐴] ∼ )
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		zringring 14565	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
12		rspex 14446	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
14	1, 13	eqeltri 2302	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
15		snexg 4268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → {𝑁} ∈ V)
17		fvexg 5648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
18	14, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
19		eqgex 13766	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
21	2, 20	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∼ ∈ V)
22		ecexg 6692	. . . 4 ⊢ ( ∼ ∈ V → [𝐴] ∼ ∈ V)
23	21, 22	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → [𝐴] ∼ ∈ V)
24	8, 9, 10, 23	fvmptd3 5730	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴) = [𝐴] ∼ )
25	7, 24	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  {csn 3666   ↦ cmpt 4145  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  [cec 6686  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454   ~_QG cqg 13714  Ringcrg 13967  RSpancrsp 14440  ℤ_ringczring 14562  ℤRHomczrh 14583  ℤ/nℤczn 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-tpos 6397  df-recs 6457  df-frec 6543  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-map 6805  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-cj 11361  df-abs 11518  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-starv 13133  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-unif 13141  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-iimas 13343  df-qus 13344  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-mhm 13500  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-sbg 13546  df-mulg 13665  df-subg 13715  df-nsg 13716  df-eqg 13717  df-ghm 13786  df-cmn 13831  df-abl 13832  df-mgp 13892  df-rng 13904  df-ur 13931  df-srg 13935  df-ring 13969  df-cring 13970  df-oppr 14039  df-rhm 14124  df-subrg 14191  df-lmod 14261  df-lssm 14325  df-lsp 14359  df-sra 14407  df-rgmod 14408  df-lidl 14441  df-rsp 14442  df-2idl 14472  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-fg 14521  df-metu 14522  df-cnfld 14529  df-zring 14563  df-zrh 14586  df-zn 14588

This theorem is referenced by:  zndvds  14621