Theorem znzrhval 14664

Description: The ℤ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r	⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrhval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴] ∼ )

Proof of Theorem znzrhval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znzrh2.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
3		znzrh2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		znzrh2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znzrh2 14663	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))
6	5	fveq1d 5641	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴))
7	6	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴))
8		eqid 2231	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )
9		eceq1 6737	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → [𝑥] ∼ = [𝐴] ∼ )
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		zringring 14610	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
12		rspex 14491	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
14	1, 13	eqeltri 2304	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
15		snexg 4274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → {𝑁} ∈ V)
17		fvexg 5658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
18	14, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
19		eqgex 13810	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
21	2, 20	eqeltrid 2318	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∼ ∈ V)
22		ecexg 6706	. . . 4 ⊢ ( ∼ ∈ V → [𝐴] ∼ ∈ V)
23	21, 22	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → [𝐴] ∼ ∈ V)
24	8, 9, 10, 23	fvmptd3 5740	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴) = [𝐴] ∼ )
25	7, 24	eqtrd 2264	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  {csn 3669   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  [cec 6700  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479   ~_QG cqg 13758  Ringcrg 14012  RSpancrsp 14485  ℤ_ringczring 14607  ℤRHomczrh 14628  ℤ/nℤczn 14630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-tpos 6411  df-recs 6471  df-frec 6557  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6819  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-cj 11404  df-abs 11561  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-starv 13177  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-tset 13181  df-ple 13182  df-ds 13184  df-unif 13185  df-0g 13343  df-topgen 13345  df-iimas 13387  df-qus 13388  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-mhm 13544  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-sbg 13590  df-mulg 13709  df-subg 13759  df-nsg 13760  df-eqg 13761  df-ghm 13830  df-cmn 13875  df-abl 13876  df-mgp 13937  df-rng 13949  df-ur 13976  df-srg 13980  df-ring 14014  df-cring 14015  df-oppr 14084  df-rhm 14169  df-subrg 14236  df-lmod 14306  df-lssm 14370  df-lsp 14404  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486  df-rsp 14487  df-2idl 14517  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-fg 14566  df-metu 14567  df-cnfld 14574  df-zring 14608  df-zrh 14631  df-zn 14633

This theorem is referenced by:  zndvds  14666