Theorem znzrhval 14685

Description: The ℤ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r	⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrhval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴] ∼ )

Proof of Theorem znzrhval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
2		znzrh2.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
3		znzrh2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		znzrh2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
5	1, 2, 3, 4	znzrh2 14684	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))
6	5	fveq1d 5644	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴))
7	6	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴))
8		eqid 2230	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )
9		eceq1 6742	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → [𝑥] ∼ = [𝐴] ∼ )
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		zringring 14631	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
12		rspex 14512	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (RSpan‘ℤring) ∈ V)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘ℤring) ∈ V
14	1, 13	eqeltri 2303	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ V
15		snexg 4276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑁} ∈ V)
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → {𝑁} ∈ V)
17		fvexg 5661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ {𝑁} ∈ V) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
18	14, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ V)
19		eqgex 13831	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ V) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) ∈ V)
21	2, 20	eqeltrid 2317	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∼ ∈ V)
22		ecexg 6711	. . . 4 ⊢ ( ∼ ∈ V → [𝐴] ∼ ∈ V)
23	21, 22	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → [𝐴] ∼ ∈ V)
24	8, 9, 10, 23	fvmptd3 5743	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ )‘𝐴) = [𝐴] ∼ )
25	7, 24	eqtrd 2263	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801  {csn 3670   ↦ cmpt 4151  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  [cec 6705  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484   ~_QG cqg 13779  Ringcrg 14033  RSpancrsp 14506  ℤ_ringczring 14628  ℤRHomczrh 14649  ℤ/nℤczn 14651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6416  df-recs 6476  df-frec 6562  df-er 6707  df-ec 6709  df-qs 6713  df-map 6824  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-cj 11425  df-abs 11582  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-starv 13198  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-tset 13202  df-ple 13203  df-ds 13205  df-unif 13206  df-0g 13364  df-topgen 13366  df-iimas 13408  df-qus 13409  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-mhm 13565  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-sbg 13611  df-mulg 13730  df-subg 13780  df-nsg 13781  df-eqg 13782  df-ghm 13851  df-cmn 13896  df-abl 13897  df-mgp 13958  df-rng 13970  df-ur 13997  df-srg 14001  df-ring 14035  df-cring 14036  df-oppr 14105  df-rhm 14190  df-subrg 14257  df-lmod 14327  df-lssm 14391  df-lsp 14425  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507  df-rsp 14508  df-2idl 14538  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-fg 14587  df-metu 14588  df-cnfld 14595  df-zring 14629  df-zrh 14652  df-zn 14654

This theorem is referenced by:  zndvds  14687