Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phibnd GIF version

Theorem phibnd 11904
 Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibnd (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem phibnd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 9092 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 eluzelz 9347 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 peano2zm 9104 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5 fzfig 10215 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
61, 4, 5sylancr 410 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
7 phibndlem 11903 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
8 ssdomg 6672 . . . 4 ((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
96, 7, 8sylc 62 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1)))
10 eluz2nn 9376 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 phivalfi 11899 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
1210, 11syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
13 fihashdom 10561 . . . 4 (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
1412, 6, 13syl2anc 408 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
159, 14mpbird 166 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))))
16 phival 11900 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
1710, 16syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
18 nnm1nn0 9030 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19 hashfz1 10541 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
2010, 18, 193syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘(1...(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
2120eqcomd 2145 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) = (♯‘(1...(𝑁 − 1))))
2215, 17, 213brtr4d 3960 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {crab 2420   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ≼ cdom 6633  Fincfn 6634  1c1 7633   ≤ cle 7813   − cmin 7945  ℕcn 8732  2c2 8783  ℕ0cn0 8989  ℤcz 9066  ℤ≥cuz 9338  ...cfz 9802  ♯chash 10533   gcd cgcd 11646  ϕcphi 11897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-dvds 11505  df-gcd 11647  df-phi 11898 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator