ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phibnd GIF version

Theorem phibnd 12197
Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibnd (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem phibnd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 9265 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2 eluzelz 9523 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 peano2zm 9277 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5 fzfig 10413 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
61, 4, 5sylancr 414 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
7 phibndlem 12196 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
8 ssdomg 6772 . . . 4 ((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
96, 7, 8sylc 62 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1)))
10 eluz2nn 9552 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 phivalfi 12192 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
1210, 11syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
13 fihashdom 10764 . . . 4 (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
1412, 6, 13syl2anc 411 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
159, 14mpbird 167 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))))
16 phival 12193 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
1710, 16syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
18 nnm1nn0 9203 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19 hashfz1 10744 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
2010, 18, 193syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘(1...(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
2120eqcomd 2183 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) = (♯‘(1...(𝑁 − 1))))
2215, 17, 213brtr4d 4032 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cdom 6733  Fincfn 6734  1c1 7800  cle 7980  cmin 8115  cn 8905  2c2 8956  0cn0 9162  cz 9239  cuz 9514  ...cfz 9992  chash 10736   gcd cgcd 11923  ϕcphi 12189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-q 9606  df-rp 9638  df-fz 9993  df-fzo 10126  df-fl 10253  df-mod 10306  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-ihash 10737  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-dvds 11776  df-gcd 11924  df-phi 12191
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator