Theorem phibnd 12910

Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibnd	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (ϕ‘𝑁) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem phibnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9602	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		eluzelz 9862	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 9614	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		fzfig 10791	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
7		phibndlem 12909	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
8		ssdomg 7017	. . . 4 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
9	6, 7, 8	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1)))
10		eluz2nn 9897	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		phivalfi 12905	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
13		fihashdom 11165	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
14	12, 6, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
15	9, 14	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))))
16		phival 12906	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
17	10, 16	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
18		nnm1nn0 9536	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
19		hashfz1 11144	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
20	10, 18, 19	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘(1...(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
21	20	eqcomd 2238	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) = (♯‘(1...(𝑁 − 1))))
22	15, 17, 21	3brtr4d 4140	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (ϕ‘𝑁) ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524   ⊆ wss 3210   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ≼ cdom 6973  Fincfn 6974  1c1 8127   ≤ cle 8308   − cmin 8443  ℕcn 9236  2c2 9287  ℕ₀cn0 9495  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852  ...cfz 10341  ♯chash 11136   gcd cgcd 12645  ϕcphi 12902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-phi 12904

This theorem is referenced by: (None)