Theorem uhgredgrnv 15814

Description: An edge of a hypergraph contains only vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgrnv	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem uhgredgrnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edguhgr 15813	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
2		elelpwi 3633	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝐸 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
3	2	expcom 116	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑁 ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
4	1, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ 𝐸 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
5	4	3impia 1203	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177  𝒫 cpw 3621  ‘cfv 5285  Vtxcvtx 15696  Edgcedg 15739  UHGraphcuhgr 15748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fo 5291  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-sub 8275  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-dec 9535  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-edgf 15689  df-vtx 15698  df-iedg 15699  df-edg 15740  df-uhgrm 15750

This theorem is referenced by: (None)