Theorem 1arithlem2 16901

Description: Lemma for 1arith 16904. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
1arithlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑀‘𝑁)‘𝑃) = (𝑃 pCnt 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑁   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑛)   𝑀(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arithlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arith.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2	1	1arithlem1 16900	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀‘𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))
3	2	fveq1d 6862	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑀‘𝑁)‘𝑃) = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁))‘𝑃))
4		oveq1 7396	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt 𝑁) = (𝑃 pCnt 𝑁))
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁))
6		ovex 7422	. . 3 ⊢ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6970	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁))‘𝑃) = (𝑃 pCnt 𝑁))
8	3, 7	sylan9eq 2785	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑀‘𝑁)‘𝑃) = (𝑃 pCnt 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℕcn 12187  ℙcprime 16647   pCnt cpc 16813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-1cn 11132  ax-addcl 11134

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-nn 12188  df-prm 16648

This theorem is referenced by:  1arithlem4  16903  1arith  16904