MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arith 16804
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function 𝑀 maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations 𝑅. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2 𝑅 = {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑒 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
1arith 𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅
Distinct variable groups:   𝑒,𝑛,𝑝   𝑒,𝑀   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑒,𝑝)   𝑀(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘˜ π‘ž π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmex 16558 . . . . . 6 β„™ ∈ V
21mptex 7174 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V
3 1arith.1 . . . . 5 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
42, 3fnmpti 6645 . . . 4 𝑀 Fn β„•
531arithlem3 16802 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘₯):β„™βŸΆβ„•0)
6 nn0ex 12424 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
76, 1elmap 8812 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜π‘₯) ∈ (β„•0 ↑m β„™) ↔ (π‘€β€˜π‘₯):β„™βŸΆβ„•0)
85, 7sylibr 233 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ (β„•0 ↑m β„™))
9 fzfi 13883 . . . . . . 7 (1...π‘₯) ∈ Fin
10 ffn 6669 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘₯):β„™βŸΆβ„•0 β†’ (π‘€β€˜π‘₯) Fn β„™)
11 elpreima 7009 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘₯) Fn β„™ β†’ (π‘ž ∈ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
125, 10, 113syl 18 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘ž ∈ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
1331arithlem2 16801 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt π‘₯))
1413eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„• ↔ (π‘ž pCnt π‘₯) ∈ β„•))
15 prmz 16556 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
16 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•)
17 dvdsle 16197 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘ž βˆ₯ π‘₯ β†’ π‘ž ≀ π‘₯))
1815, 16, 17syl2anr 598 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž βˆ₯ π‘₯ β†’ π‘ž ≀ π‘₯))
19 pcelnn 16747 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘ž pCnt π‘₯) ∈ β„• ↔ π‘ž βˆ₯ π‘₯))
2019ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘ž pCnt π‘₯) ∈ β„• ↔ π‘ž βˆ₯ π‘₯))
21 prmnn 16555 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„•)
22 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2321, 22eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„€)
25 elfz5 13439 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (π‘ž ∈ (1...π‘₯) ↔ π‘ž ≀ π‘₯))
2623, 24, 25syl2anr 598 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž ∈ (1...π‘₯) ↔ π‘ž ≀ π‘₯))
2718, 20, 263imtr4d 294 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘ž pCnt π‘₯) ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ (1...π‘₯)))
2814, 27sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ (1...π‘₯)))
2928expimpd 455 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„• β†’ ((π‘ž ∈ β„™ ∧ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„•) β†’ π‘ž ∈ (1...π‘₯)))
3012, 29sylbid 239 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘ž ∈ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) β†’ π‘ž ∈ (1...π‘₯)))
3130ssrdv 3951 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) βŠ† (1...π‘₯))
32 ssfi 9120 . . . . . . 7 (((1...π‘₯) ∈ Fin ∧ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) βŠ† (1...π‘₯)) β†’ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ∈ Fin)
339, 31, 32sylancr 588 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ∈ Fin)
34 cnveq 5830 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘€β€˜π‘₯) β†’ ◑𝑒 = β—‘(π‘€β€˜π‘₯))
3534imaeq1d 6013 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘€β€˜π‘₯) β†’ (◑𝑒 β€œ β„•) = (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•))
3635eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑒 = (π‘€β€˜π‘₯) β†’ ((◑𝑒 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ∈ Fin))
37 1arith.2 . . . . . . 7 𝑅 = {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑒 β€œ β„•) ∈ Fin}
3836, 37elrab2 3649 . . . . . 6 ((π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝑅 ↔ ((π‘€β€˜π‘₯) ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∧ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ∈ Fin))
398, 33, 38sylanbrc 584 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
4039rgen 3063 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝑅
41 ffnfv 7067 . . . 4 (𝑀:β„•βŸΆπ‘… ↔ (𝑀 Fn β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝑅))
424, 40, 41mpbir2an 710 . . 3 𝑀:β„•βŸΆπ‘…
4313adantlr 714 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt π‘₯))
4431arithlem2 16801 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt 𝑦))
4544adantll 713 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt 𝑦))
4643, 45eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž) ↔ (π‘ž pCnt π‘₯) = (π‘ž pCnt 𝑦)))
4746ralbidva 3169 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ β„™ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt π‘₯) = (π‘ž pCnt 𝑦)))
4831arithlem3 16802 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘¦):β„™βŸΆβ„•0)
49 ffn 6669 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜π‘¦):β„™βŸΆβ„•0 β†’ (π‘€β€˜π‘¦) Fn β„™)
50 eqfnfv 6983 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘₯) Fn β„™ ∧ (π‘€β€˜π‘¦) Fn β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž)))
5110, 49, 50syl2an 597 . . . . . . 7 (((π‘€β€˜π‘₯):β„™βŸΆβ„•0 ∧ (π‘€β€˜π‘¦):β„™βŸΆβ„•0) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž)))
525, 48, 51syl2an 597 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž)))
53 nnnn0 12425 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
54 nnnn0 12425 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
55 pc11 16757 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt π‘₯) = (π‘ž pCnt 𝑦)))
5653, 54, 55syl2an 597 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt π‘₯) = (π‘ž pCnt 𝑦)))
5747, 52, 563bitr4d 311 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
5857biimpd 228 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
5958rgen2 3191 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ β„• ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)
60 dff13 7203 . . 3 (𝑀:ℕ–1-1→𝑅 ↔ (𝑀:β„•βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ β„• ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6142, 59, 60mpbir2an 710 . 2 𝑀:ℕ–1-1→𝑅
62 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑔 ∈ β„• ↦ if(𝑔 ∈ β„™, (𝑔↑(π‘“β€˜π‘”)), 1)) = (𝑔 ∈ β„• ↦ if(𝑔 ∈ β„™, (𝑔↑(π‘“β€˜π‘”)), 1))
63 cnveq 5830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑓 β†’ ◑𝑒 = ◑𝑓)
6463imaeq1d 6013 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑓 β†’ (◑𝑒 β€œ β„•) = (◑𝑓 β€œ β„•))
6564eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑓 β†’ ((◑𝑒 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin))
6665, 37elrab2 3649 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∧ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin))
6766simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„™))
686, 1elmap 8812 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ↔ 𝑓:β„™βŸΆβ„•0)
6967, 68sylib 217 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ 𝑓:β„™βŸΆβ„•0)
7069ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ 𝑓:β„™βŸΆβ„•0)
71 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
72 0re 11162 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
73 ifcl 4532 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
7471, 72, 73sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
75 max1 13110 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0))
7672, 71, 75sylancr 588 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0))
77 flge0nn0 13731 . . . . . . . 8 ((if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) β†’ (βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) ∈ β„•0)
7874, 76, 77syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ (βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) ∈ β„•0)
79 nn0p1nn 12457 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ∈ β„•)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ∈ β„•)
8171adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
8280adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ∈ β„•)
8382nnred 12173 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ∈ ℝ)
8415ssriv 3949 . . . . . . . . . . . 12 β„™ βŠ† β„€
85 zssre 12511 . . . . . . . . . . . 12 β„€ βŠ† ℝ
8684, 85sstri 3954 . . . . . . . . . . 11 β„™ βŠ† ℝ
87 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ π‘ž ∈ β„™)
8886, 87sselid 3943 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
8974adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
90 max2 13112 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0))
9172, 81, 90sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑦 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0))
92 flltp1 13711 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) < ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1))
9389, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) < ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1))
9481, 89, 83, 91, 93lelttrd 11318 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑦 < ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1))
95 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)
9681, 83, 88, 94, 95ltletrd 11320 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑦 < π‘ž)
9781, 88ltnled 11307 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (𝑦 < π‘ž ↔ Β¬ π‘ž ≀ 𝑦))
9896, 97mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ Β¬ π‘ž ≀ 𝑦)
9987biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
10070adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑓:β„™βŸΆβ„•0)
101 ffn 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:β„™βŸΆβ„•0 β†’ 𝑓 Fn β„™)
102 elpreima 7009 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Fn β„™ β†’ (π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•) ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
103100, 101, 1023syl 18 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•) ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
10499, 103bitr4d 282 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• ↔ π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)))
105 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦)
106 breq1 5109 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘ž β†’ (π‘˜ ≀ 𝑦 ↔ π‘ž ≀ 𝑦))
107106rspccv 3577 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•) β†’ π‘ž ≀ 𝑦))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•) β†’ π‘ž ≀ 𝑦))
109104, 108sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• β†’ π‘ž ≀ 𝑦))
11098, 109mtod 197 . . . . . . 7 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ Β¬ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•)
111100, 87ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•0)
112 elnn0 12420 . . . . . . . . 9 ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•0 ↔ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• ∨ (π‘“β€˜π‘ž) = 0))
113111, 112sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• ∨ (π‘“β€˜π‘ž) = 0))
114113ord 863 . . . . . . 7 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (Β¬ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• β†’ (π‘“β€˜π‘ž) = 0))
115110, 114mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘ž) = 0)
1163, 62, 70, 80, 1151arithlem4 16803 . . . . 5 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝑓 = (π‘€β€˜π‘₯))
117 cnvimass 6034 . . . . . . 7 (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† dom 𝑓
11869fdmd 6680 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ dom 𝑓 = β„™)
119118, 86eqsstrdi 3999 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ dom 𝑓 βŠ† ℝ)
120117, 119sstrid 3956 . . . . . 6 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† ℝ)
12166simprbi 498 . . . . . 6 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
122 fimaxre2 12105 . . . . . 6 (((◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† ℝ ∧ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦)
123120, 121, 122syl2anc 585 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦)
124116, 123r19.29a 3156 . . . 4 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝑓 = (π‘€β€˜π‘₯))
125124rgen 3063 . . 3 βˆ€π‘“ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝑓 = (π‘€β€˜π‘₯)
126 dffo3 7053 . . 3 (𝑀:ℕ–onto→𝑅 ↔ (𝑀:β„•βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝑓 = (π‘€β€˜π‘₯)))
12742, 125, 126mpbir2an 710 . 2 𝑀:ℕ–onto→𝑅
128 df-f1o 6504 . 2 (𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝑀:ℕ–1-1→𝑅 ∧ 𝑀:ℕ–onto→𝑅))
12961, 127, 128mpbir2an 710 1 𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  βŒŠcfl 13701  β†‘cexp 13973   βˆ₯ cdvds 16141  β„™cprime 16552   pCnt cpc 16713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714
This theorem is referenced by:  1arith2  16805  sqff1o  26547
  Copyright terms: Public domain W3C validator