MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arith 16887
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a sequence of prime exponents, for which only finitely many primes have nonzero exponent. The function 𝑀 maps the set of positive integers one-to-one onto the set of prime factorizations 𝑅. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2 𝑅 = {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑒 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
1arith 𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅
Distinct variable groups:   𝑒,𝑛,𝑝   𝑒,𝑀   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑒,𝑝)   𝑀(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith
Dummy variables 𝑓 𝑔 π‘˜ π‘ž π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmex 16639 . . . . . 6 β„™ ∈ V
21mptex 7229 . . . . 5 (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V
3 1arith.1 . . . . 5 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
42, 3fnmpti 6692 . . . 4 𝑀 Fn β„•
531arithlem3 16885 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘₯):β„™βŸΆβ„•0)
6 nn0ex 12500 . . . . . . . 8 β„•0 ∈ V
76, 1elmap 8881 . . . . . . 7 ((π‘€β€˜π‘₯) ∈ (β„•0 ↑m β„™) ↔ (π‘€β€˜π‘₯):β„™βŸΆβ„•0)
85, 7sylibr 233 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ (β„•0 ↑m β„™))
9 fzfi 13961 . . . . . . 7 (1...π‘₯) ∈ Fin
10 ffn 6716 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘₯):β„™βŸΆβ„•0 β†’ (π‘€β€˜π‘₯) Fn β„™)
11 elpreima 7061 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘₯) Fn β„™ β†’ (π‘ž ∈ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
125, 10, 113syl 18 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘ž ∈ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
1331arithlem2 16884 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt π‘₯))
1413eleq1d 2813 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„• ↔ (π‘ž pCnt π‘₯) ∈ β„•))
15 prmz 16637 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
16 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•)
17 dvdsle 16278 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ β„€ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘ž βˆ₯ π‘₯ β†’ π‘ž ≀ π‘₯))
1815, 16, 17syl2anr 596 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž βˆ₯ π‘₯ β†’ π‘ž ≀ π‘₯))
19 pcelnn 16830 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ β„™ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ ((π‘ž pCnt π‘₯) ∈ β„• ↔ π‘ž βˆ₯ π‘₯))
2019ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘ž pCnt π‘₯) ∈ β„• ↔ π‘ž βˆ₯ π‘₯))
21 prmnn 16636 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„•)
22 nnuz 12887 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2321, 22eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 nnz 12601 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„€)
25 elfz5 13517 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ž ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ (π‘ž ∈ (1...π‘₯) ↔ π‘ž ≀ π‘₯))
2623, 24, 25syl2anr 596 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž ∈ (1...π‘₯) ↔ π‘ž ≀ π‘₯))
2718, 20, 263imtr4d 294 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘ž pCnt π‘₯) ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ (1...π‘₯)))
2814, 27sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„• β†’ π‘ž ∈ (1...π‘₯)))
2928expimpd 453 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„• β†’ ((π‘ž ∈ β„™ ∧ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) ∈ β„•) β†’ π‘ž ∈ (1...π‘₯)))
3012, 29sylbid 239 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘ž ∈ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) β†’ π‘ž ∈ (1...π‘₯)))
3130ssrdv 3984 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) βŠ† (1...π‘₯))
32 ssfi 9189 . . . . . . 7 (((1...π‘₯) ∈ Fin ∧ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) βŠ† (1...π‘₯)) β†’ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ∈ Fin)
339, 31, 32sylancr 586 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ∈ Fin)
34 cnveq 5870 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘€β€˜π‘₯) β†’ ◑𝑒 = β—‘(π‘€β€˜π‘₯))
3534imaeq1d 6056 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘€β€˜π‘₯) β†’ (◑𝑒 β€œ β„•) = (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•))
3635eleq1d 2813 . . . . . . 7 (𝑒 = (π‘€β€˜π‘₯) β†’ ((◑𝑒 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ∈ Fin))
37 1arith.2 . . . . . . 7 𝑅 = {𝑒 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∣ (◑𝑒 β€œ β„•) ∈ Fin}
3836, 37elrab2 3683 . . . . . 6 ((π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝑅 ↔ ((π‘€β€˜π‘₯) ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∧ (β—‘(π‘€β€˜π‘₯) β€œ β„•) ∈ Fin))
398, 33, 38sylanbrc 582 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝑅)
4039rgen 3058 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝑅
41 ffnfv 7123 . . . 4 (𝑀:β„•βŸΆπ‘… ↔ (𝑀 Fn β„• ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝑅))
424, 40, 41mpbir2an 710 . . 3 𝑀:β„•βŸΆπ‘…
4313adantlr 714 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt π‘₯))
4431arithlem2 16884 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt 𝑦))
4544adantll 713 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt 𝑦))
4643, 45eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž) ↔ (π‘ž pCnt π‘₯) = (π‘ž pCnt 𝑦)))
4746ralbidva 3170 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ β„™ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt π‘₯) = (π‘ž pCnt 𝑦)))
4831arithlem3 16885 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜π‘¦):β„™βŸΆβ„•0)
49 ffn 6716 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜π‘¦):β„™βŸΆβ„•0 β†’ (π‘€β€˜π‘¦) Fn β„™)
50 eqfnfv 7034 . . . . . . . 8 (((π‘€β€˜π‘₯) Fn β„™ ∧ (π‘€β€˜π‘¦) Fn β„™) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž)))
5110, 49, 50syl2an 595 . . . . . . 7 (((π‘€β€˜π‘₯):β„™βŸΆβ„•0 ∧ (π‘€β€˜π‘¦):β„™βŸΆβ„•0) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž)))
525, 48, 51syl2an 595 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ ((π‘€β€˜π‘₯)β€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜π‘¦)β€˜π‘ž)))
53 nnnn0 12501 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
54 nnnn0 12501 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
55 pc11 16840 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt π‘₯) = (π‘ž pCnt 𝑦)))
5653, 54, 55syl2an 595 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (π‘ž pCnt π‘₯) = (π‘ž pCnt 𝑦)))
5747, 52, 563bitr4d 311 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ = 𝑦))
5857biimpd 228 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦))
5958rgen2 3192 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ β„• ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)
60 dff13 7259 . . 3 (𝑀:ℕ–1-1→𝑅 ↔ (𝑀:β„•βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ β„• ((π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6142, 59, 60mpbir2an 710 . 2 𝑀:ℕ–1-1→𝑅
62 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑔 ∈ β„• ↦ if(𝑔 ∈ β„™, (𝑔↑(π‘“β€˜π‘”)), 1)) = (𝑔 ∈ β„• ↦ if(𝑔 ∈ β„™, (𝑔↑(π‘“β€˜π‘”)), 1))
63 cnveq 5870 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑓 β†’ ◑𝑒 = ◑𝑓)
6463imaeq1d 6056 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑓 β†’ (◑𝑒 β€œ β„•) = (◑𝑓 β€œ β„•))
6564eleq1d 2813 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑓 β†’ ((◑𝑒 β€œ β„•) ∈ Fin ↔ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin))
6665, 37elrab2 3683 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ∧ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin))
6766simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ 𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„™))
686, 1elmap 8881 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (β„•0 ↑m β„™) ↔ 𝑓:β„™βŸΆβ„•0)
6967, 68sylib 217 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ 𝑓:β„™βŸΆβ„•0)
7069ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ 𝑓:β„™βŸΆβ„•0)
71 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
72 0re 11238 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
73 ifcl 4569 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
7471, 72, 73sylancl 585 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
75 max1 13188 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0))
7672, 71, 75sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0))
77 flge0nn0 13809 . . . . . . . 8 ((if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) β†’ (βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) ∈ β„•0)
7874, 76, 77syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ (βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) ∈ β„•0)
79 nn0p1nn 12533 . . . . . . 7 ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ∈ β„•)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ∈ β„•)
8171adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
8280adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ∈ β„•)
8382nnred 12249 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ∈ ℝ)
8415ssriv 3982 . . . . . . . . . . . 12 β„™ βŠ† β„€
85 zssre 12587 . . . . . . . . . . . 12 β„€ βŠ† ℝ
8684, 85sstri 3987 . . . . . . . . . . 11 β„™ βŠ† ℝ
87 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ π‘ž ∈ β„™)
8886, 87sselid 3976 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
8974adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ)
90 max2 13190 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0))
9172, 81, 90sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑦 ≀ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0))
92 flltp1 13789 . . . . . . . . . . . 12 (if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) ∈ ℝ β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) < ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1))
9389, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0) < ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1))
9481, 89, 83, 91, 93lelttrd 11394 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑦 < ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1))
95 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)
9681, 83, 88, 94, 95ltletrd 11396 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑦 < π‘ž)
9781, 88ltnled 11383 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (𝑦 < π‘ž ↔ Β¬ π‘ž ≀ 𝑦))
9896, 97mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ Β¬ π‘ž ≀ 𝑦)
9987biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
10070adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ 𝑓:β„™βŸΆβ„•0)
101 ffn 6716 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:β„™βŸΆβ„•0 β†’ 𝑓 Fn β„™)
102 elpreima 7061 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 Fn β„™ β†’ (π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•) ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
103100, 101, 1023syl 18 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•) ↔ (π‘ž ∈ β„™ ∧ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•)))
10499, 103bitr4d 282 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• ↔ π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)))
105 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦)
106 breq1 5145 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = π‘ž β†’ (π‘˜ ≀ 𝑦 ↔ π‘ž ≀ 𝑦))
107106rspccv 3604 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦 β†’ (π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•) β†’ π‘ž ≀ 𝑦))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (π‘ž ∈ (◑𝑓 β€œ β„•) β†’ π‘ž ≀ 𝑦))
109104, 108sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• β†’ π‘ž ≀ 𝑦))
11098, 109mtod 197 . . . . . . 7 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ Β¬ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•)
111100, 87ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•0)
112 elnn0 12496 . . . . . . . . 9 ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„•0 ↔ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• ∨ (π‘“β€˜π‘ž) = 0))
113111, 112sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ ((π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• ∨ (π‘“β€˜π‘ž) = 0))
114113ord 863 . . . . . . 7 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (Β¬ (π‘“β€˜π‘ž) ∈ β„• β†’ (π‘“β€˜π‘ž) = 0))
115110, 114mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ ((βŒŠβ€˜if(0 ≀ 𝑦, 𝑦, 0)) + 1) ≀ π‘ž)) β†’ (π‘“β€˜π‘ž) = 0)
1163, 62, 70, 80, 1151arithlem4 16886 . . . . 5 (((𝑓 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝑓 = (π‘€β€˜π‘₯))
117 cnvimass 6079 . . . . . . 7 (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† dom 𝑓
11869fdmd 6727 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ dom 𝑓 = β„™)
119118, 86eqsstrdi 4032 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ dom 𝑓 βŠ† ℝ)
120117, 119sstrid 3989 . . . . . 6 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† ℝ)
12166simprbi 496 . . . . . 6 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin)
122 fimaxre2 12181 . . . . . 6 (((◑𝑓 β€œ β„•) βŠ† ℝ ∧ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦)
123120, 121, 122syl2anc 583 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ (◑𝑓 β€œ β„•)π‘˜ ≀ 𝑦)
124116, 123r19.29a 3157 . . . 4 (𝑓 ∈ 𝑅 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝑓 = (π‘€β€˜π‘₯))
125124rgen 3058 . . 3 βˆ€π‘“ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝑓 = (π‘€β€˜π‘₯)
126 dffo3 7106 . . 3 (𝑀:ℕ–onto→𝑅 ↔ (𝑀:β„•βŸΆπ‘… ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝑓 = (π‘€β€˜π‘₯)))
12742, 125, 126mpbir2an 710 . 2 𝑀:ℕ–onto→𝑅
128 df-f1o 6549 . 2 (𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝑀:ℕ–1-1→𝑅 ∧ 𝑀:ℕ–onto→𝑅))
12961, 127, 128mpbir2an 710 1 𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  ...cfz 13508  βŒŠcfl 13779  β†‘cexp 14050   βˆ₯ cdvds 16222  β„™cprime 16633   pCnt cpc 16796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797
This theorem is referenced by:  1arith2  16888  sqff1o  27101
  Copyright terms: Public domain W3C validator