MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arithlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arithlem1 16035
Description: Lemma for 1arith 16039. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
1arithlem1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑝,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arithlem1
StepHypRef Expression
1 oveq2 6932 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (𝑝 pCnt 𝑛) = (𝑝 pCnt 𝑁))
21mpteq2dv 4982 . 2 (𝑛 = 𝑁 → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))
3 1arith.1 . 2 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
4 prmex 15800 . . 3 ℙ ∈ V
54mptex 6760 . 2 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)) ∈ V
62, 3, 5fvmpt 6544 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀𝑁) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  cn 11378  cprime 15794   pCnt cpc 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-1cn 10332  ax-addcl 10334
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-nn 11379  df-prm 15795
This theorem is referenced by:  1arithlem2  16036  1arithlem3  16037  sqff1o  25364
  Copyright terms: Public domain W3C validator