Theorem 1arithlem4 17109

Description: Lemma for 1arith 17110. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
1arithlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
1arithlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
1arithlem4.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)

Assertion

Ref	Expression
1arithlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝐹,𝑞,𝑥,𝑦   𝑀,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛, 𝑝)   𝐹(𝑛, 𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛, 𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithlem4.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
2		1arithlem4.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
3	2	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
4	3	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
5	1, 4	pcmptcl 17074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ))
6	5	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ)
7		1arithlem4.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 7085	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ)
9		1arith.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
10	9	1arithlem2 17107	. . . . . 6 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	8, 10	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
12	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
13	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
15		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑞))
16	1, 12, 13, 14, 15	pcmpt 17075	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
17	13	nnred 12353	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		prmz 16855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
19	18	zred 12806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
20	19	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℝ)
21		1arithlem4.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)
22	21	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → (𝐹‘𝑞) = 0)
23	22	ifeq2d 4502	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
24		ifid 4522	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞)
25	23, 24	eqtr3di 2810	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
26		iftrue 4487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≤ 𝑁 → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
27	26	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ≤ 𝑁) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
28	17, 20, 25, 27	lecasei 11419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
29	11, 16, 28	3eqtrrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
30	29	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
31	9	1arithlem3 17108	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
32	8, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
33		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℙ⟶ℕ0 → 𝐹 Fn ℙ)
34		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ)
35		eqfnfv 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℙ ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
36	33, 34, 35	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℙ⟶ℕ0 ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
37	2, 32, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
38	30, 37	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
39		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
40	39	rspceeqv 3598	. 2 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))
41	8, 38, 40	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   · cmul 11208   ≤ cle 11347  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  seqcseq 14147  ↑cexp 14207  ℙcprime 16851   pCnt cpc 17019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-prm 16852  df-pc 17020

This theorem is used by:  1arith  17110