Theorem 1arithlem4 16108

Description: Lemma for 1arith 16109. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
1arithlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
1arithlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
1arithlem4.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)

Assertion

Ref	Expression
1arithlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝐹,𝑞,𝑥,𝑦   𝑀,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛,𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithlem4.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
2		1arithlem4.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
3	2	ffvelrnda 6670	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
4	3	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
5	1, 4	pcmptcl 16073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ))
6	5	simprd 488	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ)
7		1arithlem4.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelrnd 6671	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ)
9		1arith.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
10	9	1arithlem2 16106	. . . . . 6 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	8, 10	sylan 572	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
12	4	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
13	7	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
15		fveq2 6493	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑞))
16	1, 12, 13, 14, 15	pcmpt 16074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
17	13	nnred 11448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		prmz 15865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
19	18	zred 11893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
20	19	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℝ)
21		ifid 4383	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞)
22		1arithlem4.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)
23	22	anassrs 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → (𝐹‘𝑞) = 0)
24	23	ifeq2d 4363	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
25	21, 24	syl5reqr 2823	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
26		iftrue 4350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≤ 𝑁 → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
27	26	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ≤ 𝑁) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
28	17, 20, 25, 27	lecasei 10538	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
29	11, 16, 28	3eqtrrd 2813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
30	29	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
31	9	1arithlem3 16107	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
32	8, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
33		ffn 6338	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℙ⟶ℕ0 → 𝐹 Fn ℙ)
34		ffn 6338	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ)
35		eqfnfv 6621	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℙ ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
36	33, 34, 35	syl2an 586	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℙ⟶ℕ0 ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
37	2, 32, 36	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
38	30, 37	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
39		fveq2 6493	. . 3 ⊢ (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
40	39	rspceeqv 3547	. 2 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))
41	8, 38, 40	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3082  ∃wrex 3083  ifcif 4344   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002   Fn wfn 6177  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℝcr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   · cmul 10332   ≤ cle 10467  ℕcn 11431  ℕ₀cn0 11700  seqcseq 13177  ↑cexp 13237  ℙcprime 15861   pCnt cpc 16019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-dvds 15458  df-gcd 15694  df-prm 15862  df-pc 16020

This theorem is referenced by:  1arith  16109