MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arithlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arithlem4 16260
Description: Lemma for 1arith 16261. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹𝑦)), 1))
1arithlem4.3 (𝜑𝐹:ℙ⟶ℕ0)
1arithlem4.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1arithlem4.5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁𝑞)) → (𝐹𝑞) = 0)
Assertion
Ref Expression
1arithlem4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀𝑥))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝐹,𝑞,𝑥,𝑦   𝑀,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛,𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4
StepHypRef Expression
1 1arithlem4.2 . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹𝑦)), 1))
2 1arithlem4.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℙ⟶ℕ0)
32ffvelrnda 6842 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℙ) → (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
43ralrimiva 3177 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
51, 4pcmptcl 16225 . . . 4 (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ))
65simprd 499 . . 3 (𝜑 → seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ)
7 1arithlem4.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
86, 7ffvelrnd 6843 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ)
9 1arith.1 . . . . . . 7 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1091arithlem2 16258 . . . . . 6 (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
118, 10sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
124adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹𝑦) ∈ ℕ0)
137adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
15 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑞 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑞))
161, 12, 13, 14, 15pcmpt 16226 . . . . 5 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) = if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0))
1713nnred 11649 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18 prmz 16017 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
1918zred 12084 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
2019adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℝ)
21 ifid 4489 . . . . . . 7 if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), (𝐹𝑞)) = (𝐹𝑞)
22 1arithlem4.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁𝑞)) → (𝐹𝑞) = 0)
2322anassrs 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁𝑞) → (𝐹𝑞) = 0)
2423ifeq2d 4469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁𝑞) → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), (𝐹𝑞)) = if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0))
2521, 24syl5reqr 2874 . . . . . 6 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁𝑞) → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0) = (𝐹𝑞))
26 iftrue 4456 . . . . . . 7 (𝑞𝑁 → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0) = (𝐹𝑞))
2726adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0) = (𝐹𝑞))
2817, 20, 25, 27lecasei 10744 . . . . 5 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑁, (𝐹𝑞), 0) = (𝐹𝑞))
2911, 16, 283eqtrrd 2864 . . . 4 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
3029ralrimiva 3177 . . 3 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
3191arithlem3 16259 . . . . 5 ((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
328, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
33 ffn 6503 . . . . 5 (𝐹:ℙ⟶ℕ0𝐹 Fn ℙ)
34 ffn 6503 . . . . 5 ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ)
35 eqfnfv 6793 . . . . 5 ((𝐹 Fn ℙ ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
3633, 34, 35syl2an 598 . . . 4 ((𝐹:ℙ⟶ℕ0 ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
372, 32, 36syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
3830, 37mpbird 260 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
39 fveq2 6661 . . 3 (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) → (𝑀𝑥) = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
4039rspceeqv 3624 . 2 (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀𝑥))
418, 38, 40syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  ifcif 4450   class class class wbr 5052  cmpt 5132   Fn wfn 6338  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540  cle 10674  cn 11634  0cn0 11894  seqcseq 13373  cexp 13434  cprime 16013   pCnt cpc 16171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15842  df-prm 16014  df-pc 16172
This theorem is referenced by:  1arith  16261
  Copyright terms: Public domain W3C validator