MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arithlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arithlem4 16868
Description: Lemma for 1arith 16869. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2 𝐺 = (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ β„™, (𝑦↑(πΉβ€˜π‘¦)), 1))
1arithlem4.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„™βŸΆβ„•0)
1arithlem4.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1arithlem4.5 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ 𝑁 ≀ π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = 0)
Assertion
Ref Expression
1arithlem4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝐹 = (π‘€β€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝑀,π‘ž,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘ž,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,π‘ž,π‘₯   𝑛,𝑁,𝑝,π‘ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛,𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4
StepHypRef Expression
1 1arithlem4.2 . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ β„™, (𝑦↑(πΉβ€˜π‘¦)), 1))
2 1arithlem4.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„™βŸΆβ„•0)
32ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
43ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
51, 4pcmptcl 16833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐺):β„•βŸΆβ„•))
65simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐺):β„•βŸΆβ„•)
7 1arithlem4.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
86, 7ffvelcdmd 7081 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„•)
9 1arith.1 . . . . . . 7 𝑀 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑝 ∈ β„™ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1091arithlem2 16866 . . . . . 6 (((seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„• ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
118, 10sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž) = (π‘ž pCnt (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
124adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„•0)
137adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
14 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ π‘ž ∈ β„™)
15 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑦 = π‘ž β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘ž))
161, 12, 13, 14, 15pcmpt 16834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (π‘ž pCnt (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) = if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0))
1713nnred 12231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
18 prmz 16619 . . . . . . . 8 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ β„€)
1918zred 12670 . . . . . . 7 (π‘ž ∈ β„™ β†’ π‘ž ∈ ℝ)
2019adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
21 1arithlem4.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘ž ∈ β„™ ∧ 𝑁 ≀ π‘ž)) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = 0)
2221anassrs 467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ 𝑁 ≀ π‘ž) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = 0)
2322ifeq2d 4543 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ 𝑁 ≀ π‘ž) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), (πΉβ€˜π‘ž)) = if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0))
24 ifid 4563 . . . . . . 7 if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), (πΉβ€˜π‘ž)) = (πΉβ€˜π‘ž)
2523, 24eqtr3di 2781 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ 𝑁 ≀ π‘ž) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0) = (πΉβ€˜π‘ž))
26 iftrue 4529 . . . . . . 7 (π‘ž ≀ 𝑁 β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0) = (πΉβ€˜π‘ž))
2726adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) ∧ π‘ž ≀ 𝑁) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0) = (πΉβ€˜π‘ž))
2817, 20, 25, 27lecasei 11324 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ if(π‘ž ≀ 𝑁, (πΉβ€˜π‘ž), 0) = (πΉβ€˜π‘ž))
2911, 16, 283eqtrrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ β„™) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž))
3029ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž))
3191arithlem3 16867 . . . . 5 ((seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„• β†’ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)):β„™βŸΆβ„•0)
328, 31syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)):β„™βŸΆβ„•0)
33 ffn 6711 . . . . 5 (𝐹:β„™βŸΆβ„•0 β†’ 𝐹 Fn β„™)
34 ffn 6711 . . . . 5 ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)):β„™βŸΆβ„•0 β†’ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) Fn β„™)
35 eqfnfv 7026 . . . . 5 ((𝐹 Fn β„™ ∧ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) Fn β„™) β†’ (𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž)))
3633, 34, 35syl2an 595 . . . 4 ((𝐹:β„™βŸΆβ„•0 ∧ (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)):β„™βŸΆβ„•0) β†’ (𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž)))
372, 32, 36syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)) ↔ βˆ€π‘ž ∈ β„™ (πΉβ€˜π‘ž) = ((π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))β€˜π‘ž)))
3830, 37mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
39 fveq2 6885 . . 3 (π‘₯ = (seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘)))
4039rspceeqv 3628 . 2 (((seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘) ∈ β„• ∧ 𝐹 = (π‘€β€˜(seq1( Β· , 𝐺)β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝐹 = (π‘€β€˜π‘₯))
418, 38, 40syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• 𝐹 = (π‘€β€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  seqcseq 13972  β†‘cexp 14032  β„™cprime 16615   pCnt cpc 16778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779
This theorem is referenced by:  1arith  16869
  Copyright terms: Public domain W3C validator