Theorem 1arithlem4 16798

Description: Lemma for 1arith 16799. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arithlem4.2	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
1arithlem4.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
1arithlem4.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
1arithlem4.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)

Assertion

Ref	Expression
1arithlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝐹,𝑞,𝑥,𝑦   𝑀,𝑞,𝑥,𝑦   𝜑,𝑞,𝑦   𝑛,𝐺,𝑝,𝑞,𝑥   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑛,𝑝)   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem 1arithlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arithlem4.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ ℙ, (𝑦↑(𝐹‘𝑦)), 1))
2		1arithlem4.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℙ⟶ℕ0)
3	2	ffvelcdmda 7035	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
4	3	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
5	1, 4	pcmptcl 16763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ))
6	5	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐺):ℕ⟶ℕ)
7		1arithlem4.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 7036	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ)
9		1arith.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
10	9	1arithlem2 16796	. . . . . 6 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
11	8, 10	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
12	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∀𝑦 ∈ ℙ (𝐹‘𝑦) ∈ ℕ0)
13	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
15		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑞 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑞))
16	1, 12, 13, 14, 15	pcmpt 16764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
17	13	nnred 12168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		prmz 16551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
19	18	zred 12607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℝ)
21		1arithlem4.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ≤ 𝑞)) → (𝐹‘𝑞) = 0)
22	21	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → (𝐹‘𝑞) = 0)
23	22	ifeq2d 4506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0))
24		ifid 4526	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), (𝐹‘𝑞)) = (𝐹‘𝑞)
25	23, 24	eqtr3di 2791	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑞) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
26		iftrue 4492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≤ 𝑁 → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
27	26	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ≤ 𝑁) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
28	17, 20, 25, 27	lecasei 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞 ≤ 𝑁, (𝐹‘𝑞), 0) = (𝐹‘𝑞))
29	11, 16, 28	3eqtrrd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
30	29	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞))
31	9	1arithlem3 16797	. . . . 5 ⊢ ((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
32	8, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0)
33		ffn 6668	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℙ⟶ℕ0 → 𝐹 Fn ℙ)
34		ffn 6668	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ)
35		eqfnfv 6982	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn ℙ ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) Fn ℙ) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
36	33, 34, 35	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℙ⟶ℕ0 ∧ (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)):ℙ⟶ℕ0) → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
37	2, 32, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝐹‘𝑞) = ((𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))‘𝑞)))
38	30, 37	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
39		fveq2 6842	. . 3 ⊢ (𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑁) → (𝑀‘𝑥) = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁)))
40	39	rspceeqv 3595	. 2 ⊢ (((seq1( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐹 = (𝑀‘(seq1( · , 𝐺)‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))
41	8, 38, 40	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐹 = (𝑀‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   ≤ cle 11190  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  ℙcprime 16547   pCnt cpc 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709

This theorem is referenced by:  1arith  16799