Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atneat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atneat 39020
Description: The join of two distinct atoms is not an atom. (Contributed by NM, 12-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atneat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2atneat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2atneat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ Β¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2atneat
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpr1 1191 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simpr2 1192 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4 simpr3 1193 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
5 2atneat.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 2atneat.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 eqid 2728 . . . 4 (LLinesβ€˜πΎ) = (LLinesβ€˜πΎ)
85, 6, 7llni2 39017 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
91, 2, 3, 4, 8syl31anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLinesβ€˜πΎ))
106, 7llnneat 39019 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLinesβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)
119, 10syldan 589 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ Β¬ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  joincjn 18310  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LLinesclln 38996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003
This theorem is referenced by:  cdleme18b  39797
  Copyright terms: Public domain W3C validator