Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atneat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atneat 35540
Description: The join of two distinct atoms is not an atom. (Contributed by NM, 12-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atneat.j = (join‘𝐾)
2atneat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atneat ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2atneat
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr1 1249 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃𝐴)
3 simpr2 1251 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑄𝐴)
4 simpr3 1253 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑃𝑄)
5 2atneat.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 2atneat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2803 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
85, 6, 7llni2 35537 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
91, 2, 3, 4, 8syl31anc 1493 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
106, 7llnneat 35539 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾)) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)
119, 10syldan 586 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → ¬ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2975  cfv 6105  (class class class)co 6882  joincjn 17263  Atomscatm 35288  HLchlt 35375  LLinesclln 35516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-proset 17247  df-poset 17265  df-plt 17277  df-lub 17293  df-glb 17294  df-join 17295  df-meet 17296  df-p0 17358  df-lat 17365  df-clat 17427  df-oposet 35201  df-ol 35203  df-oml 35204  df-covers 35291  df-ats 35292  df-atl 35323  df-cvlat 35347  df-hlat 35376  df-llines 35523
This theorem is referenced by:  cdleme18b  36317
  Copyright terms: Public domain W3C validator