Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnn0 38891
Description: A lattice line is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnn0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
llnn0.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnn0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 β‰  0 )

Proof of Theorem llnn0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
21atex 38781 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (Atomsβ€˜πΎ) β‰  βˆ…)
3 n0 4339 . . . 4 ((Atomsβ€˜πΎ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
42, 3sylib 217 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
6 eqid 2724 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 llnn0.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
86, 1, 7llnnleat 38888 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝)
983expa 1115 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝)
10 hlop 38736 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1312, 1atbase 38663 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 llnn0.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
1612, 6, 15op0le 38560 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝)
18 breq1 5142 . . . . 5 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝))
2019necon3bd 2946 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝 β†’ 𝑋 β‰  0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 β‰  0 )
225, 21exlimddv 1930 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ…c0 4315   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  lecple 17209  0.cp0 18384  OPcops 38546  Atomscatm 38637  HLchlt 38724  LLinesclln 38866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38550  df-ol 38552  df-oml 38553  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672  df-cvlat 38696  df-hlat 38725  df-llines 38873
This theorem is referenced by:  2llnm3N  38944  cdleme22b  39716
  Copyright terms: Public domain W3C validator