Theorem llnn0 40323

Description: A lattice line is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnn0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
llnn0.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnn0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem llnn0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2	1	atex 40213	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3		n0 4307	. . . 4 ⊢ ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
4	2, 3	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		llnn0.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8	6, 1, 7	llnnleat 40320	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
9	8	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10		hlop 40169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 1	atbase 40096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15		llnn0.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16	12, 6, 15	op0le 39993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
17	11, 14, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝 ↔ 0 (le‘𝐾)𝑝))
19	17, 18	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0 → 𝑋(le‘𝐾)𝑝))
20	19	necon3bd 2974	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝 → 𝑋 ≠ 0 ))
21	9, 20	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ≠ 0 )
22	5, 21	exlimddv 1968	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋 ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17286  lecple 17334  0.cp0 18494  OPcops 39979  Atomscatm 40070  HLchlt 40157  LLinesclln 40298

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18367  df-poset 18386  df-plt 18401  df-lub 18417  df-glb 18418  df-join 18419  df-meet 18420  df-p0 18496  df-p1 18497  df-lat 18505  df-clat 18572  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305

This theorem is used by:  2llnm3N  40376  cdleme22b  41148