Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnn0 37792
Description: A lattice line is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnn0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
llnn0.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnn0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 β‰  0 )

Proof of Theorem llnn0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
21atex 37682 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (Atomsβ€˜πΎ) β‰  βˆ…)
3 n0 4293 . . . 4 ((Atomsβ€˜πΎ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
42, 3sylib 217 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
54adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
6 eqid 2736 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 llnn0.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
86, 1, 7llnnleat 37789 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝)
983expa 1117 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝)
10 hlop 37637 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1312, 1atbase 37564 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 llnn0.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
1612, 6, 15op0le 37461 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝)
18 breq1 5095 . . . . 5 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝))
2019necon3bd 2954 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝 β†’ 𝑋 β‰  0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 β‰  0 )
225, 21exlimddv 1937 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4269   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  Basecbs 17009  lecple 17066  0.cp0 18238  OPcops 37447  Atomscatm 37538  HLchlt 37625  LLinesclln 37767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-llines 37774
This theorem is referenced by:  2llnm3N  37845  cdleme22b  38617
  Copyright terms: Public domain W3C validator