Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnn0 38989
Description: A lattice line is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnn0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
llnn0.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnn0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 β‰  0 )

Proof of Theorem llnn0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
21atex 38879 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (Atomsβ€˜πΎ) β‰  βˆ…)
3 n0 4347 . . . 4 ((Atomsβ€˜πΎ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
42, 3sylib 217 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
6 eqid 2728 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 llnn0.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
86, 1, 7llnnleat 38986 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝)
983expa 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝)
10 hlop 38834 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1312, 1atbase 38761 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 llnn0.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
1612, 6, 15op0le 38658 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝)
18 breq1 5151 . . . . 5 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝))
2019necon3bd 2951 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝 β†’ 𝑋 β‰  0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 β‰  0 )
225, 21exlimddv 1931 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  0.cp0 18415  OPcops 38644  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LLinesclln 38964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971
This theorem is referenced by:  2llnm3N  39042  cdleme22b  39814
  Copyright terms: Public domain W3C validator