Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llni2 38004
Description: The join of two different atoms is a lattice line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llni2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
llni2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llni2.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llni2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem llni2
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2 simpl3 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3 simpr 486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
4 eqidd 2738 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑄))
5 neeq1 3007 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑃 β†’ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ↔ 𝑃 β‰  𝑠))
6 oveq1 7369 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑃 β†’ (π‘Ÿ ∨ 𝑠) = (𝑃 ∨ 𝑠))
76eqeq2d 2748 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑃 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (π‘Ÿ ∨ 𝑠) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑠)))
85, 7anbi12d 632 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑃 β†’ ((π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (π‘Ÿ ∨ 𝑠)) ↔ (𝑃 β‰  𝑠 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑠))))
9 neeq2 3008 . . . . 5 (𝑠 = 𝑄 β†’ (𝑃 β‰  𝑠 ↔ 𝑃 β‰  𝑄))
10 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑠) = (𝑃 ∨ 𝑄))
1110eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑠 = 𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑠) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
129, 11anbi12d 632 . . . 4 (𝑠 = 𝑄 β†’ ((𝑃 β‰  𝑠 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑠)) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑄))))
138, 12rspc2ev 3595 . . 3 ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (π‘Ÿ ∨ 𝑠)))
141, 2, 3, 4, 13syl112anc 1375 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (π‘Ÿ ∨ 𝑠)))
15 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝐾 ∈ HL)
16 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
17 llni2.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
18 llni2.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1916, 17, 18hlatjcl 37858 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2019adantr 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
21 llni2.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2216, 17, 18, 21islln3 38002 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (π‘Ÿ ∨ 𝑠))))
2315, 20, 22syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (π‘Ÿ ∨ 𝑠))))
2414, 23mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  joincjn 18207  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LLinesclln 37983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990
This theorem is referenced by:  2atneat  38007  islln2a  38009  2at0mat0  38017  ps-2c  38020  lplnnle2at  38033  2atmat  38053  lplnexllnN  38056  dalempjsen  38145  dalemcea  38152  dalem2  38153  dalemdea  38154  dalem16  38171  dalemcjden  38184  dalem23  38188  dalem54  38218  dalem60  38224  llnexchb2  38361  arglem1N  38682  cdlemc5  38687  cdleme20l1  38812  cdleme20l2  38813  cdleme20l  38814  cdleme22b  38833  cdlemeg46req  39021  cdlemh  39309
  Copyright terms: Public domain W3C validator