Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llni2 36179
Description: The join of two different atoms is a lattice line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llni2.j = (join‘𝐾)
llni2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llni2.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llni2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem llni2
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1185 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
2 simpl3 1186 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
3 simpr 485 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
4 eqidd 2796 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))
5 neeq1 3046 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟𝑠𝑃𝑠))
6 oveq1 7023 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 𝑠) = (𝑃 𝑠))
76eqeq2d 2805 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → ((𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠)))
85, 7anbi12d 630 . . . 4 (𝑟 = 𝑃 → ((𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)) ↔ (𝑃𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠))))
9 neeq2 3047 . . . . 5 (𝑠 = 𝑄 → (𝑃𝑠𝑃𝑄))
10 oveq2 7024 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑄 → (𝑃 𝑠) = (𝑃 𝑄))
1110eqeq2d 2805 . . . . 5 (𝑠 = 𝑄 → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄)))
129, 11anbi12d 630 . . . 4 (𝑠 = 𝑄 → ((𝑃𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))))
138, 12rspc2ev 3574 . . 3 ((𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)))
141, 2, 3, 4, 13syl112anc 1367 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)))
15 simpl1 1184 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
16 eqid 2795 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17 llni2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
18 llni2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1916, 17, 18hlatjcl 36034 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2019adantr 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
21 llni2.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2216, 17, 18, 21islln3 36177 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠))))
2315, 20, 22syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠))))
2414, 23mpbird 258 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  joincjn 17383  Atomscatm 35930  HLchlt 36017  LLinesclln 36158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-lat 17485  df-clat 17547  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165
This theorem is referenced by:  2atneat  36182  islln2a  36184  2at0mat0  36192  ps-2c  36195  lplnnle2at  36208  2atmat  36228  lplnexllnN  36231  dalempjsen  36320  dalemcea  36327  dalem2  36328  dalemdea  36329  dalem16  36346  dalemcjden  36359  dalem23  36363  dalem54  36393  dalem60  36399  llnexchb2  36536  arglem1N  36857  cdlemc5  36862  cdleme20l1  36987  cdleme20l2  36988  cdleme20l  36989  cdleme22b  37008  cdlemeg46req  37196  cdlemh  37484
  Copyright terms: Public domain W3C validator