Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llni2 37263
Description: The join of two different atoms is a lattice line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llni2.j = (join‘𝐾)
llni2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llni2.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llni2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem llni2
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝐴)
2 simpl3 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑄𝐴)
3 simpr 488 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
4 eqidd 2738 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))
5 neeq1 3003 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟𝑠𝑃𝑠))
6 oveq1 7220 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 𝑠) = (𝑃 𝑠))
76eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → ((𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠)))
85, 7anbi12d 634 . . . 4 (𝑟 = 𝑃 → ((𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)) ↔ (𝑃𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠))))
9 neeq2 3004 . . . . 5 (𝑠 = 𝑄 → (𝑃𝑠𝑃𝑄))
10 oveq2 7221 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑄 → (𝑃 𝑠) = (𝑃 𝑄))
1110eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑠 = 𝑄 → ((𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠) ↔ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄)))
129, 11anbi12d 634 . . . 4 (𝑠 = 𝑄 → ((𝑃𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑠)) ↔ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))))
138, 12rspc2ev 3549 . . 3 ((𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑃 𝑄))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)))
141, 2, 3, 4, 13syl112anc 1376 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠)))
15 simpl1 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
16 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17 llni2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
18 llni2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1916, 17, 18hlatjcl 37118 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2019adantr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
21 llni2.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2216, 17, 18, 21islln3 37261 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠))))
2315, 20, 22syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑃 𝑄) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑟𝑠 ∧ (𝑃 𝑄) = (𝑟 𝑠))))
2414, 23mpbird 260 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wrex 3062  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  joincjn 17818  Atomscatm 37014  HLchlt 37101  LLinesclln 37242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249
This theorem is referenced by:  2atneat  37266  islln2a  37268  2at0mat0  37276  ps-2c  37279  lplnnle2at  37292  2atmat  37312  lplnexllnN  37315  dalempjsen  37404  dalemcea  37411  dalem2  37412  dalemdea  37413  dalem16  37430  dalemcjden  37443  dalem23  37447  dalem54  37477  dalem60  37483  llnexchb2  37620  arglem1N  37941  cdlemc5  37946  cdleme20l1  38071  cdleme20l2  38072  cdleme20l  38073  cdleme22b  38092  cdlemeg46req  38280  cdlemh  38568
  Copyright terms: Public domain W3C validator