Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3dim3 38328
Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ∨ ,𝑠   ≀ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)
Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 3dim0.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim2 38327 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)))
543adant3r1 1182 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)))
6 simpl2l 1226 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
7 simp3l 1201 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
8 simp1l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simp1r2 1270 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 3hlatjidm 38227 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
1211oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
1312breq2d 5159 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
147, 13mtbird 324 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
15 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
1615oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1716breq2d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
1817notbid 317 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
1918biimparc 480 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
2014, 19sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
21 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑣 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2221notbid 317 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑣 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2322rspcev 3612 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
246, 20, 23syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
25 simp2l 1199 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
2625ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
277ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
281, 3hlatjass 38228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
29283ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
318hllatd 38222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32 simp1r1 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3433, 3atbase 38147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 simp1r3 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3733, 1, 3hlatjcl 38225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
388, 9, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3931, 35, 383jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
4133, 2, 1latleeqj1 18400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
4342biimpa 477 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4430, 43eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4544breq2d 5159 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
4627, 45mtbird 324 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
4726, 46, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
48 simpl2r 1227 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
508, 32, 93jca 1128 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
5150ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
5236, 25jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
5352ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
54 simpl3r 1229 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
5554ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
56 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
57 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
581, 2, 33dimlem3a 38319 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
5951, 53, 55, 56, 57, 58syl113anc 1382 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
60 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑀 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6160notbid 317 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6261rspcev 3612 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
6349, 59, 62syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
64 simpl2l 1226 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
6564ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
6650ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
6752ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
68 simpl3l 1228 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
6968ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
70 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
71 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
721, 2, 33dimlem4a 38322 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7366, 67, 69, 70, 71, 72syl113anc 1382 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7465, 73, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7563, 74pm2.61dan 811 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7647, 75pm2.61dan 811 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7724, 76pm2.61dane 3029 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
78773exp 1119 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
7978rexlimdvv 3210 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
805, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  lvolex3N  38397  dalem18  38540  dvh4dimat  40297
  Copyright terms: Public domain W3C validator