Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim3 36651
 Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim2 36650 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)))
543adant3r1 1179 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)))
6 simpl2l 1223 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑣𝐴)
7 simp3l 1198 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
8 simp1l 1194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp1r2 1267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑄𝐴)
101, 3hlatjidm 36551 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
118, 9, 10syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1211oveq1d 7145 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ((𝑄 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1312breq2d 5051 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑅)))
147, 13mtbird 328 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅))
15 oveq1 7137 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
1615oveq1d 7145 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑄 𝑄) 𝑅))
1716breq2d 5051 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅)))
1817notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅)))
1918biimparc 483 . . . . . . 7 ((¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2014, 19sylan 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
21 breq1 5042 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2221notbid 321 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2322rspcev 3600 . . . . . 6 ((𝑣𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
246, 20, 23syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
25 simp2l 1196 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
2625ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝑣𝐴)
277ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
281, 3hlatjass 36552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
29283ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
318hllatd 36546 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝐾 ∈ Lat)
32 simp1r1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑃𝐴)
33 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3433, 3atbase 36471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
36 simp1r3 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑅𝐴)
3733, 1, 3hlatjcl 36549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
388, 9, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
3931, 35, 383jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
4039adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
4133, 2, 1latleeqj1 17652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅)))
4342biimpa 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅))
4430, 43eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
4544breq2d 5051 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑅)))
4627, 45mtbird 328 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
4726, 46, 23syl2anc 587 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
48 simpl2r 1224 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑤𝐴)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑤𝐴)
508, 32, 93jca 1125 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
5150ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
5236, 25jca 515 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
54 simpl3r 1226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
56 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
57 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
581, 2, 33dimlem3a 36642 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
5951, 53, 55, 56, 57, 58syl113anc 1379 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
60 breq1 5042 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6160notbid 321 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6261rspcev 3600 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6349, 59, 62syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
64 simpl2l 1223 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑣𝐴)
6564ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑣𝐴)
6650ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
6752ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
68 simpl3l 1225 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
70 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
71 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
721, 2, 33dimlem4a 36645 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7366, 67, 69, 70, 71, 72syl113anc 1379 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7465, 73, 23syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7563, 74pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7647, 75pm2.61dan 812 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7724, 76pm2.61dane 3094 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
78773exp 1116 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
7978rexlimdvv 3279 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
805, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∃wrex 3127   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  lecple 16551  joincjn 17533  Latclat 17634  Atomscatm 36445  HLchlt 36532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36358  df-ol 36360  df-oml 36361  df-covers 36448  df-ats 36449  df-atl 36480  df-cvlat 36504  df-hlat 36533 This theorem is referenced by:  lvolex3N  36720  dalem18  36863  dvh4dimat  38620
 Copyright terms: Public domain W3C validator