Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim3 37961
Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ∨ ,𝑠   ≀ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 3dim0.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim2 37960 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)))
543adant3r1 1183 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)))
6 simpl2l 1227 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
7 simp3l 1202 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
8 simp1l 1198 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simp1r2 1271 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 3hlatjidm 37860 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
118, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
1211oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
1312breq2d 5122 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
147, 13mtbird 325 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
15 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
1615oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1716breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
1817notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
1918biimparc 481 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
2014, 19sylan 581 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
21 breq1 5113 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑣 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2221notbid 318 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑣 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2322rspcev 3584 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
246, 20, 23syl2anc 585 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
25 simp2l 1200 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
2625ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
277ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
281, 3hlatjass 37861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
29283ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
318hllatd 37855 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32 simp1r1 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
33 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3433, 3atbase 37780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 simp1r3 1272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3733, 1, 3hlatjcl 37858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
388, 9, 36, 37syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3931, 35, 383jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
4133, 2, 1latleeqj1 18347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
4342biimpa 478 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4430, 43eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4544breq2d 5122 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
4627, 45mtbird 325 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
4726, 46, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
48 simpl2r 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
508, 32, 93jca 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
5150ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
5236, 25jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
54 simpl3r 1230 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
56 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
57 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
581, 2, 33dimlem3a 37952 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
5951, 53, 55, 56, 57, 58syl113anc 1383 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
60 breq1 5113 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑀 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6160notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6261rspcev 3584 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
6349, 59, 62syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
64 simpl2l 1227 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
6564ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
6650ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
6752ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
68 simpl3l 1229 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
70 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
71 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
721, 2, 33dimlem4a 37955 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7366, 67, 69, 70, 71, 72syl113anc 1383 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7465, 73, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7563, 74pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7647, 75pm2.61dan 812 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7724, 76pm2.61dane 3033 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
78773exp 1120 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
7978rexlimdvv 3205 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
805, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  Latclat 18327  Atomscatm 37754  HLchlt 37841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842
This theorem is referenced by:  lvolex3N  38030  dalem18  38173  dvh4dimat  39930
  Copyright terms: Public domain W3C validator