Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 3dim0.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
2 | | 3dim0.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | 3dim0.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | 1, 2, 3 | 3dim2 37960 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β βπ£ β π΄ βπ€ β π΄ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) |
5 | 4 | 3adant3r1 1183 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β βπ£ β π΄ βπ€ β π΄ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) |
6 | | simpl2l 1227 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π = π) β π£ β π΄) |
7 | | simp3l 1202 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β Β¬ π£ β€ (π β¨ π
)) |
8 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β πΎ β HL) |
9 | | simp1r2 1271 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β π β π΄) |
10 | 1, 3 | hlatjidm 37860 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β (π β¨ π) = π) |
11 | 8, 9, 10 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β (π β¨ π) = π) |
12 | 11 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β ((π β¨ π) β¨ π
) = (π β¨ π
)) |
13 | 12 | breq2d 5122 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β (π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π£ β€ (π β¨ π
))) |
14 | 7, 13 | mtbird 325 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
15 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
16 | 15 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
17 | 16 | breq2d 5122 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
18 | 17 | notbid 318 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
19 | 18 | biimparc 481 |
. . . . . . 7
β’ ((Β¬
π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β§ π = π) β Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
20 | 14, 19 | sylan 581 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π = π) β Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
21 | | breq1 5113 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π£ β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
22 | 21 | notbid 318 |
. . . . . . 7
β’ (π = π£ β (Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
23 | 22 | rspcev 3584 |
. . . . . 6
β’ ((π£ β π΄ β§ Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
24 | 6, 20, 23 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π = π) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
25 | | simp2l 1200 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β π£ β π΄) |
26 | 25 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ π β€ (π β¨ π
)) β π£ β π΄) |
27 | 7 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ π β€ (π β¨ π
)) β Β¬ π£ β€ (π β¨ π
)) |
28 | 1, 3 | hlatjass 37861 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = (π β¨ (π β¨ π
))) |
29 | 28 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β ((π β¨ π) β¨ π
) = (π β¨ (π β¨ π
))) |
30 | 29 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ π β€ (π β¨ π
)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = (π β¨ (π β¨ π
))) |
31 | 8 | hllatd 37855 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β πΎ β Lat) |
32 | | simp1r1 1270 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β π β π΄) |
33 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
34 | 33, 3 | atbase 37780 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
35 | 32, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β π β (BaseβπΎ)) |
36 | | simp1r3 1272 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β π
β π΄) |
37 | 33, 1, 3 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
38 | 8, 9, 36, 37 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
39 | 31, 35, 38 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β (πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ))) |
40 | 39 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β (πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ))) |
41 | 33, 2, 1 | latleeqj1 18347 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β (π β€ (π β¨ π
) β (π β¨ (π β¨ π
)) = (π β¨ π
))) |
42 | 40, 41 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π
) β (π β¨ (π β¨ π
)) = (π β¨ π
))) |
43 | 42 | biimpa 478 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ π β€ (π β¨ π
)) β (π β¨ (π β¨ π
)) = (π β¨ π
)) |
44 | 30, 43 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ π β€ (π β¨ π
)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = (π β¨ π
)) |
45 | 44 | breq2d 5122 |
. . . . . . . 8
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ π β€ (π β¨ π
)) β (π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π£ β€ (π β¨ π
))) |
46 | 27, 45 | mtbird 325 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ π β€ (π β¨ π
)) β Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
47 | 26, 46, 23 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ π β€ (π β¨ π
)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
48 | | simpl2r 1228 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β π€ β π΄) |
49 | 48 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β π€ β π΄) |
50 | 8, 32, 9 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
51 | 50 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
52 | 36, 25 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β (π
β π΄ β§ π£ β π΄)) |
53 | 52 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β (π
β π΄ β§ π£ β π΄)) |
54 | | simpl3r 1230 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) |
55 | 54 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) |
56 | | simplr 768 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
57 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) |
58 | 1, 2, 3 | 3dimlem3a 37952 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π£ β π΄) β§ (Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β Β¬ π€ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
59 | 51, 53, 55, 56, 57, 58 | syl113anc 1383 |
. . . . . . . 8
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β Β¬ π€ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
60 | | breq1 5113 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π€ β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π€ β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
61 | 60 | notbid 318 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π€ β (Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β Β¬ π€ β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
62 | 61 | rspcev 3584 |
. . . . . . . 8
β’ ((π€ β π΄ β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
63 | 49, 59, 62 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
64 | | simpl2l 1227 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β π£ β π΄) |
65 | 64 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β π£ β π΄) |
66 | 50 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
67 | 52 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β (π
β π΄ β§ π£ β π΄)) |
68 | | simpl3l 1229 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β Β¬ π£ β€ (π β¨ π
)) |
69 | 68 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β Β¬ π£ β€ (π β¨ π
)) |
70 | | simplr 768 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
71 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) |
72 | 1, 2, 3 | 3dimlem4a 37955 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π£ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
73 | 66, 67, 69, 70, 71, 72 | syl113anc 1383 |
. . . . . . . 8
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β Β¬ π£ β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
74 | 65, 73, 23 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’
((((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
75 | 63, 74 | pm2.61dan 812 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
76 | 47, 75 | pm2.61dan 812 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β§ π β π) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
77 | 24, 76 | pm2.61dane 3033 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β§ (π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β§ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£))) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
78 | 77 | 3exp 1120 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β ((π£ β π΄ β§ π€ β π΄) β ((Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)))) |
79 | 78 | rexlimdvv 3205 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β (βπ£ β π΄ βπ€ β π΄ (Β¬ π£ β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π€ β€ ((π β¨ π
) β¨ π£)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
80 | 5, 79 | mpd 15 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |