Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3dim3 38844
Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ∨ ,𝑠   ≀ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)
Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 3dim0.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim2 38843 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)))
543adant3r1 1179 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)))
6 simpl2l 1223 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
7 simp3l 1198 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
8 simp1l 1194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simp1r2 1267 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 3hlatjidm 38743 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
118, 9, 10syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
1211oveq1d 7417 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
1312breq2d 5151 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
147, 13mtbird 325 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
15 oveq1 7409 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
1615oveq1d 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
1716breq2d 5151 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
1817notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
1918biimparc 479 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
2014, 19sylan 579 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
21 breq1 5142 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑣 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2221notbid 318 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑣 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2322rspcev 3604 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
246, 20, 23syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
25 simp2l 1196 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
2625ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
277ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
281, 3hlatjass 38744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
29283ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
3029ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
318hllatd 38738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32 simp1r1 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
33 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3433, 3atbase 38663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 simp1r3 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3733, 1, 3hlatjcl 38741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
388, 9, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3931, 35, 383jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
4133, 2, 1latleeqj1 18412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
4342biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4430, 43eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
4544breq2d 5151 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
4627, 45mtbird 325 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
4726, 46, 23syl2anc 583 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
48 simpl2r 1224 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
4948ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
508, 32, 93jca 1125 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
5150ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
5236, 25jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
5352ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
54 simpl3r 1226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
5554ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
56 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
57 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
581, 2, 33dimlem3a 38835 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
5951, 53, 55, 56, 57, 58syl113anc 1379 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
60 breq1 5142 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑀 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6160notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6261rspcev 3604 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
6349, 59, 62syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
64 simpl2l 1223 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
6564ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
6650ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
6752ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
68 simpl3l 1225 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
6968ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
70 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
71 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))
721, 2, 33dimlem4a 38838 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7366, 67, 69, 70, 71, 72syl113anc 1379 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7465, 73, 23syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7563, 74pm2.61dan 810 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7647, 75pm2.61dan 810 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
7724, 76pm2.61dane 3021 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
78773exp 1116 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
7978rexlimdvv 3202 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
805, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18272  Latclat 18392  Atomscatm 38637  HLchlt 38724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38550  df-ol 38552  df-oml 38553  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672  df-cvlat 38696  df-hlat 38725
This theorem is referenced by:  lvolex3N  38913  dalem18  39056  dvh4dimat  40813
  Copyright terms: Public domain W3C validator