Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim3 35618
Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim2 35617 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)))
543adant3r1 1190 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)))
6 simpl2l 1254 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑣𝐴)
7 simp3l 1215 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
8 simp1l 1211 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp1r2 1326 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑄𝐴)
101, 3hlatjidm 35518 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
118, 9, 10syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1211oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ((𝑄 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1312breq2d 4898 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑅)))
147, 13mtbird 317 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅))
15 oveq1 6929 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
1615oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑄 𝑄) 𝑅))
1716breq2d 4898 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅)))
1817notbid 310 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅)))
1918biimparc 473 . . . . . . 7 ((¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2014, 19sylan 575 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
21 breq1 4889 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2221notbid 310 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2322rspcev 3510 . . . . . 6 ((𝑣𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
246, 20, 23syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
25 simp2l 1213 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
2625ad2antrr 716 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝑣𝐴)
277ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
281, 3hlatjass 35519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
29283ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
3029ad2antrr 716 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
318hllatd 35513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝐾 ∈ Lat)
32 simp1r1 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑃𝐴)
33 eqid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3433, 3atbase 35438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
36 simp1r3 1327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑅𝐴)
3733, 1, 3hlatjcl 35516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
388, 9, 36, 37syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
3931, 35, 383jca 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
4039adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
4133, 2, 1latleeqj1 17449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅)))
4342biimpa 470 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅))
4430, 43eqtrd 2813 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
4544breq2d 4898 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑅)))
4627, 45mtbird 317 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
4726, 46, 23syl2anc 579 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
48 simpl2r 1256 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑤𝐴)
4948ad2antrr 716 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑤𝐴)
508, 32, 93jca 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
5150ad3antrrr 720 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
5236, 25jca 507 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
5352ad3antrrr 720 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
54 simpl3r 1260 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
5554ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
56 simplr 759 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
57 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
581, 2, 33dimlem3a 35609 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
5951, 53, 55, 56, 57, 58syl113anc 1450 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
60 breq1 4889 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6160notbid 310 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6261rspcev 3510 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6349, 59, 62syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
64 simpl2l 1254 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑣𝐴)
6564ad2antrr 716 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑣𝐴)
6650ad3antrrr 720 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
6752ad3antrrr 720 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
68 simpl3l 1258 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
6968ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
70 simplr 759 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
71 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
721, 2, 33dimlem4a 35612 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7366, 67, 69, 70, 71, 72syl113anc 1450 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7465, 73, 23syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7563, 74pm2.61dan 803 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7647, 75pm2.61dan 803 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7724, 76pm2.61dane 3056 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
78773exp 1109 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
7978rexlimdvv 3219 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
805, 79mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  wrex 3090   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  joincjn 17330  Latclat 17431  Atomscatm 35412  HLchlt 35499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500
This theorem is referenced by:  lvolex3N  35687  dalem18  35830  dvh4dimat  37587
  Copyright terms: Public domain W3C validator