Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem2 39441
Description: Lemma for 3dim1 39449. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dimlem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))

Proof of Theorem 3dimlem2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝑄)
2 simp22 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
3 3dim0.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
4 3dim0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4hlatjcom 39349 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
653ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
7 simp3r 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃 (𝑄 𝑅))
8 simp11 1202 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp12 1203 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐴)
10 simp21 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝐴)
11 simp13 1204 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐴)
12 3dim0.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
1312, 3, 4hlatexchb1 39375 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
148, 9, 10, 11, 1, 13syl131anc 1382 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
157, 14mpbid 232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅))
166, 15eqtrd 2774 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑅))
1716breq2d 5159 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑆 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
182, 17mtbird 325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
19 simp23 1207 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2016oveq1d 7445 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2120breq2d 5159 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆) ↔ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
2219, 21mtbird 325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
231, 18, 223jca 1127 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  lecple 17304  joincjn 18368  Atomscatm 39244  HLchlt 39331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-lat 18489  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332
This theorem is referenced by:  3dim1  39449  3dim2  39450
  Copyright terms: Public domain W3C validator