Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem2 39461
Description: Lemma for 3dim1 39469. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dimlem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))

Proof of Theorem 3dimlem2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1202 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝑄)
2 simp22 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
3 3dim0.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
4 3dim0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4hlatjcom 39369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
653ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
7 simp3r 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃 (𝑄 𝑅))
8 simp11 1204 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp12 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐴)
10 simp21 1207 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝐴)
11 simp13 1206 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐴)
12 3dim0.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
1312, 3, 4hlatexchb1 39395 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑅𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
148, 9, 10, 11, 1, 13syl131anc 1385 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅)))
157, 14mpbid 232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑃) = (𝑄 𝑅))
166, 15eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑅))
1716breq2d 5155 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑆 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
182, 17mtbird 325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
19 simp23 1209 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2016oveq1d 7446 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2120breq2d 5155 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆) ↔ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
2219, 21mtbird 325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆))
231, 18, 223jca 1129 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑅))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  HLchlt 39351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352
This theorem is referenced by:  3dim1  39469  3dim2  39470
  Copyright terms: Public domain W3C validator