Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem2 37951
Description: Lemma for 3dim1 37959. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dimlem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆)))

Proof of Theorem 3dimlem2
StepHypRef Expression
1 simp3l 1202 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
2 simp22 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
3 3dim0.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 3dim0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
53, 4hlatjcom 37859 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
653ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7 simp3r 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
8 simp11 1204 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simp12 1205 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
10 simp21 1207 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
11 simp13 1206 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
12 3dim0.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1312, 3, 4hlatexchb1 37885 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑃) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
148, 9, 10, 11, 1, 13syl131anc 1384 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑄 ∨ 𝑃) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
157, 14mpbid 231 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑃) = (𝑄 ∨ 𝑅))
166, 15eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑅))
1716breq2d 5122 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
182, 17mtbird 325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
19 simp23 1209 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
2016oveq1d 7377 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
2120breq2d 5122 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ↔ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
2219, 21mtbird 325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
231, 18, 223jca 1129 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  lecple 17147  joincjn 18207  Atomscatm 37754  HLchlt 37841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842
This theorem is referenced by:  3dim1  37959  3dim2  37960
  Copyright terms: Public domain W3C validator