Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1202 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β π β π) |
2 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
3 | | 3dim0.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | 3dim0.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 3, 4 | hlatjcom 37859 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
6 | 5 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
7 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β π β€ (π β¨ π
)) |
8 | | simp11 1204 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β πΎ β HL) |
9 | | simp12 1205 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β π β π΄) |
10 | | simp21 1207 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β π
β π΄) |
11 | | simp13 1206 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β π β π΄) |
12 | | 3dim0.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
13 | 12, 3, 4 | hlatexchb1 37885 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π
) β (π β¨ π) = (π β¨ π
))) |
14 | 8, 9, 10, 11, 1, 13 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β€ (π β¨ π
) β (π β¨ π) = (π β¨ π
))) |
15 | 7, 14 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β¨ π) = (π β¨ π
)) |
16 | 6, 15 | eqtrd 2777 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β¨ π) = (π β¨ π
)) |
17 | 16 | breq2d 5122 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
18 | 2, 17 | mtbird 325 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
19 | | simp23 1209 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
20 | 16 | oveq1d 7377 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
21 | 20 | breq2d 5122 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
22 | 19, 21 | mtbird 325 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
23 | 1, 18, 22 | 3jca 1129 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π
))) β (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π))) |