Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr1 1195 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π) |
2 | | simpr2 1196 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
3 | | simpl11 1249 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β πΎ β HL) |
4 | | simpl2l 1227 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π
β π΄) |
5 | | simpl12 1250 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | simpl13 1251 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π΄) |
7 | | simpl3l 1229 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π
) |
8 | 7 | necomd 3000 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π
β π) |
9 | | 3dim0.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | 3dim0.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | 3dim0.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 9, 10, 11 | hlatexch2 37888 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π
β¨ π))) |
13 | 3, 4, 5, 6, 8, 12 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π
β¨ π))) |
14 | 10, 11 | hlatjcom 37859 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
15 | 3, 6, 4, 14 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
16 | 15 | breq2d 5122 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π
) β π β€ (π
β¨ π))) |
17 | 13, 16 | sylibrd 259 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
18 | 2, 17 | mtod 197 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
19 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
20 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π
β π΄ β§ π β π΄)) |
21 | | simpl3r 1230 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
22 | | simpr3 1197 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
23 | 10, 9, 11 | 3dimlem3a 37952 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
24 | 19, 20, 21, 2, 22, 23 | syl113anc 1383 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
25 | 1, 18, 24 | 3jca 1129 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |