Theorem elrege0 13391

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11152	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13382	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  +∞cpnf 11181   ≤ cle 11185  [,)cico 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ico 13288

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13392  rge0ssre  13393  0e0icopnf  13395  ge0addcl  13397  ge0mulcl  13398  fsumge0  15737  fprodge0  15935  isabvd  20697  abvge0  20702  nmolb  24581  nmoge0  24585  nmoi  24592  icopnfcnv  24816  cphsqrtcl  25060  tcphcph  25113  cphsscph  25127  ovolfsf  25348  ovolmge0  25354  ovolunlem1a  25373  ovoliunlem1  25379  ovolicc2lem4  25397  ioombl1lem4  25438  uniioombllem2  25460  uniioombllem6  25465  0plef  25549  i1fpos  25583  mbfi1fseqlem1  25592  mbfi1fseqlem3  25594  mbfi1fseqlem4  25595  mbfi1fseqlem5  25596  mbfi1fseqlem6  25597  mbfi1flimlem  25599  itg2const  25617  itg2const2  25618  itg2mulclem  25623  itg2mulc  25624  itg2monolem1  25627  itg2mono  25630  itg2addlem  25635  itg2gt0  25637  itg2cnlem1  25638  itg2cnlem2  25639  itg2cn  25640  iblconst  25695  itgconst  25696  ibladdlem  25697  itgaddlem1  25700  iblabslem  25705  iblabs  25706  iblmulc2  25708  itgmulc2lem1  25709  bddmulibl  25716  bddiblnc  25719  itggt0  25721  itgcn  25722  dvge0  25887  dvle  25888  dvfsumrlim  25914  cxpcn3lem  26633  cxpcn3  26634  resqrtcn  26635  loglesqrt  26647  areaf  26847  areacl  26848  areage0  26849  rlimcnp3  26853  jensenlem2  26874  jensen  26875  amgmlem  26876  amgm  26877  dchrisumlem3  27378  dchrmusumlema  27380  dchrmusum2  27381  dchrvmasumlem2  27385  dchrvmasumiflem1  27388  dchrisum0lema  27401  dchrisum0lem1b  27402  dchrisum0lem1  27403  dchrisum0lem2  27405  axcontlem2  28868  axcontlem7  28873  axcontlem8  28874  axcontlem10  28876  rge0scvg  33912  esumpcvgval  34041  hasheuni  34048  esumcvg  34049  sibfof  34304  mbfposadd  37634  itg2addnclem2  37639  itg2addnclem3  37640  itg2addnc  37641  itg2gt0cn  37642  ibladdnclem  37643  itgaddnclem1  37645  iblabsnclem  37650  iblabsnc  37651  iblmulc2nc  37652  itgmulc2nclem1  37653  itggt0cn  37657  ftc1anclem3  37662  ftc1anclem4  37663  ftc1anclem5  37664  ftc1anclem6  37665  ftc1anclem7  37666  ftc1anclem8  37667  areacirclem2  37676  sge0iunmptlemfi  46384  digvalnn0  48561  nn0digval  48562  dignn0fr  48563  dig2nn1st  48567  digexp  48569  2sphere  48711  itsclc0  48733  itsclc0b  48734