Theorem elrege0 13625

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11349	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13616	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  +∞cpnf 11379   ≤ cle 11383  [,)cico 13518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-ico 13522

This theorem is used by:  nn0rp0  13626  rge0ssre  13627  0e0icopnf  13629  ge0addcl  13631  ge0mulcl  13632  fsumge0  16006  fprodge0  16204  isabvd  21120  abvge0  21125  nmolb  25091  nmoge0  25095  nmoi  25102  icopnfcnv  25318  cphsqrtcl  25560  tcphcph  25613  cphsscph  25627  ovolfsf  25847  ovolmge0  25853  ovolunlem1a  25872  ovoliunlem1  25878  ovolicc2lem4  25896  ioombl1lem4  25937  uniioombllem2  25959  uniioombllem6  25964  0plef  26048  i1fpos  26082  mbfi1fseqlem1  26091  mbfi1fseqlem3  26093  mbfi1fseqlem4  26094  mbfi1fseqlem5  26095  mbfi1fseqlem6  26096  mbfi1flimlem  26098  itg2const  26116  itg2const2  26117  itg2mulclem  26122  itg2mulc  26123  itg2monolem1  26126  itg2mono  26129  itg2addlem  26134  itg2gt0  26136  itg2cnlem1  26137  itg2cnlem2  26138  itg2cn  26139  iblconst  26193  itgconst  26194  ibladdlem  26195  itgaddlem1  26198  iblabslem  26203  iblabs  26204  iblmulc2  26206  itgmulc2lem1  26207  bddmulibl  26214  bddiblnc  26217  itggt0  26219  itgcn  26220  dvge0  26381  dvle  26382  dvfsumrlim  26406  cxpcn3lem  27132  cxpcn3  27133  resqrtcn  27134  loglesqrt  27146  areaf  27346  areacl  27347  areage0  27348  rlimcnp3  27352  jensenlem2  27372  jensen  27373  amgmlem  27374  amgm  27375  dchrisumlem3  27875  dchrmusumlema  27877  dchrmusum2  27878  dchrvmasumlem2  27882  dchrvmasumiflem1  27885  dchrisum0lema  27898  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem1  27900  dchrisum0lem2  27902  axcontlem2  29600  axcontlem7  29605  axcontlem8  29606  axcontlem10  29608  rge0scvg  34692  esumpcvgval  34821  hasheuni  34828  esumcvg  34829  sibfof  35083  mbfposadd  38853  itg2addnclem2  38858  itg2addnclem3  38859  itg2addnc  38860  itg2gt0cn  38861  ibladdnclem  38862  itgaddnclem1  38864  iblabsnclem  38869  iblabsnc  38870  iblmulc2nc  38871  itgmulc2nclem1  38872  itggt0cn  38876  ftc1anclem3  38881  ftc1anclem4  38882  ftc1anclem5  38883  ftc1anclem6  38884  ftc1anclem7  38885  ftc1anclem8  38886  areacirclem2  38895  sge0iunmptlemfi  47696  digvalnn0  50042  nn0digval  50043  dignn0fr  50044  dig2nn1st  50048  digexp  50050  2sphere  50192  itsclc0  50214  itsclc0b  50215