Theorem elrege0 13476

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11205	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13467	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  +∞cpnf 11235   ≤ cle 11239  [,)cico 13369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-addrcl 11156  ax-rnegex 11166  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-ico 13373

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13477  rge0ssre  13478  0e0icopnf  13480  ge0addcl  13482  ge0mulcl  13483  fsumge0  15843  fprodge0  16043  isabvd  20915  abvge0  20920  nmolb  24874  nmoge0  24878  nmoi  24885  icopnfcnv  25101  cphsqrtcl  25343  tcphcph  25396  cphsscph  25410  ovolfsf  25630  ovolmge0  25636  ovolunlem1a  25655  ovoliunlem1  25661  ovolicc2lem4  25679  ioombl1lem4  25720  uniioombllem2  25742  uniioombllem6  25747  0plef  25831  i1fpos  25865  mbfi1fseqlem1  25874  mbfi1fseqlem3  25876  mbfi1fseqlem4  25877  mbfi1fseqlem5  25878  mbfi1fseqlem6  25879  mbfi1flimlem  25881  itg2const  25899  itg2const2  25900  itg2mulclem  25905  itg2mulc  25906  itg2monolem1  25909  itg2mono  25912  itg2addlem  25917  itg2gt0  25919  itg2cnlem1  25920  itg2cnlem2  25921  itg2cn  25922  iblconst  25977  itgconst  25978  ibladdlem  25979  itgaddlem1  25982  iblabslem  25987  iblabs  25988  iblmulc2  25990  itgmulc2lem1  25991  bddmulibl  25998  bddiblnc  26001  itggt0  26003  itgcn  26004  dvge0  26165  dvle  26166  dvfsumrlim  26190  cxpcn3lem  26912  cxpcn3  26913  resqrtcn  26914  loglesqrt  26926  areaf  27126  areacl  27127  areage0  27128  rlimcnp3  27132  jensenlem2  27152  jensen  27153  amgmlem  27154  amgm  27155  dchrisumlem3  27655  dchrmusumlema  27657  dchrmusum2  27658  dchrvmasumlem2  27662  dchrvmasumiflem1  27665  dchrisum0lema  27678  dchrisum0lem1b  27679  dchrisum0lem1  27680  dchrisum0lem2  27682  axcontlem2  29315  axcontlem7  29320  axcontlem8  29321  axcontlem10  29323  rge0scvg  34339  esumpcvgval  34468  hasheuni  34475  esumcvg  34476  sibfof  34730  mbfposadd  38338  itg2addnclem2  38343  itg2addnclem3  38344  itg2addnc  38345  itg2gt0cn  38346  ibladdnclem  38347  itgaddnclem1  38349  iblabsnclem  38354  iblabsnc  38355  iblmulc2nc  38356  itgmulc2nclem1  38357  itggt0cn  38361  ftc1anclem3  38366  ftc1anclem4  38367  ftc1anclem5  38368  ftc1anclem6  38369  ftc1anclem7  38370  ftc1anclem8  38371  areacirclem2  38380  sge0iunmptlemfi  47147  digvalnn0  49399  nn0digval  49400  dignn0fr  49401  dig2nn1st  49405  digexp  49407  2sphere  49549  itsclc0  49571  itsclc0b  49572