Theorem elrege0 13195

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10986	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13186	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  0cc0 10880  +∞cpnf 11015   ≤ cle 11019  [,)cico 13090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-addrcl 10941  ax-rnegex 10951  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-ico 13094

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13196  rge0ssre  13197  0e0icopnf  13199  ge0addcl  13201  ge0mulcl  13202  fsumge0  15516  fprodge0  15712  isabvd  20089  abvge0  20094  nmolb  23890  nmoge0  23894  nmoi  23901  icopnfcnv  24114  cphsqrtcl  24357  tcphcph  24410  cphsscph  24424  ovolfsf  24644  ovolmge0  24650  ovolunlem1a  24669  ovoliunlem1  24675  ovolicc2lem4  24693  ioombl1lem4  24734  uniioombllem2  24756  uniioombllem6  24761  0plef  24845  i1fpos  24880  mbfi1fseqlem1  24889  mbfi1fseqlem3  24891  mbfi1fseqlem4  24892  mbfi1fseqlem5  24893  mbfi1fseqlem6  24894  mbfi1flimlem  24896  itg2const  24914  itg2const2  24915  itg2mulclem  24920  itg2mulc  24921  itg2monolem1  24924  itg2mono  24927  itg2addlem  24932  itg2gt0  24934  itg2cnlem1  24935  itg2cnlem2  24936  itg2cn  24937  iblconst  24991  itgconst  24992  ibladdlem  24993  itgaddlem1  24996  iblabslem  25001  iblabs  25002  iblmulc2  25004  itgmulc2lem1  25005  bddmulibl  25012  bddiblnc  25015  itggt0  25017  itgcn  25018  dvge0  25179  dvle  25180  dvfsumrlim  25204  cxpcn3lem  25909  cxpcn3  25910  resqrtcn  25911  loglesqrt  25920  areaf  26120  areacl  26121  areage0  26122  rlimcnp3  26126  jensenlem2  26146  jensen  26147  amgmlem  26148  amgm  26149  dchrisumlem3  26648  dchrmusumlema  26650  dchrmusum2  26651  dchrvmasumlem2  26655  dchrvmasumiflem1  26658  dchrisum0lema  26671  dchrisum0lem1b  26672  dchrisum0lem1  26673  dchrisum0lem2  26675  axcontlem2  27342  axcontlem7  27347  axcontlem8  27348  axcontlem10  27350  rge0scvg  31908  esumpcvgval  32055  hasheuni  32062  esumcvg  32063  sibfof  32316  mbfposadd  35833  itg2addnclem2  35838  itg2addnclem3  35839  itg2addnc  35840  itg2gt0cn  35841  ibladdnclem  35842  itgaddnclem1  35844  iblabsnclem  35849  iblabsnc  35850  iblmulc2nc  35851  itgmulc2nclem1  35852  itggt0cn  35856  ftc1anclem3  35861  ftc1anclem4  35862  ftc1anclem5  35863  ftc1anclem6  35864  ftc1anclem7  35865  ftc1anclem8  35866  areacirclem2  35875  sge0iunmptlemfi  43958  digvalnn0  45956  nn0digval  45957  dignn0fr  45958  dig2nn1st  45962  digexp  45964  2sphere  46106  itsclc0  46128  itsclc0b  46129