Theorem elrege0 13185

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10978	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13176	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  0cc0 10872  +∞cpnf 11007   ≤ cle 11011  [,)cico 13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-addrcl 10933  ax-rnegex 10943  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-ico 13084

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13186  rge0ssre  13187  0e0icopnf  13189  ge0addcl  13191  ge0mulcl  13192  fsumge0  15505  fprodge0  15701  isabvd  20078  abvge0  20083  nmolb  23879  nmoge0  23883  nmoi  23890  icopnfcnv  24103  cphsqrtcl  24346  tcphcph  24399  cphsscph  24413  ovolfsf  24633  ovolmge0  24639  ovolunlem1a  24658  ovoliunlem1  24664  ovolicc2lem4  24682  ioombl1lem4  24723  uniioombllem2  24745  uniioombllem6  24750  0plef  24834  i1fpos  24869  mbfi1fseqlem1  24878  mbfi1fseqlem3  24880  mbfi1fseqlem4  24881  mbfi1fseqlem5  24882  mbfi1fseqlem6  24883  mbfi1flimlem  24885  itg2const  24903  itg2const2  24904  itg2mulclem  24909  itg2mulc  24910  itg2monolem1  24913  itg2mono  24916  itg2addlem  24921  itg2gt0  24923  itg2cnlem1  24924  itg2cnlem2  24925  itg2cn  24926  iblconst  24980  itgconst  24981  ibladdlem  24982  itgaddlem1  24985  iblabslem  24990  iblabs  24991  iblmulc2  24993  itgmulc2lem1  24994  bddmulibl  25001  bddiblnc  25004  itggt0  25006  itgcn  25007  dvge0  25168  dvle  25169  dvfsumrlim  25193  cxpcn3lem  25898  cxpcn3  25899  resqrtcn  25900  loglesqrt  25909  areaf  26109  areacl  26110  areage0  26111  rlimcnp3  26115  jensenlem2  26135  jensen  26136  amgmlem  26137  amgm  26138  dchrisumlem3  26637  dchrmusumlema  26639  dchrmusum2  26640  dchrvmasumlem2  26644  dchrvmasumiflem1  26647  dchrisum0lema  26660  dchrisum0lem1b  26661  dchrisum0lem1  26662  dchrisum0lem2  26664  axcontlem2  27331  axcontlem7  27336  axcontlem8  27337  axcontlem10  27339  rge0scvg  31895  esumpcvgval  32042  hasheuni  32049  esumcvg  32050  sibfof  32303  mbfposadd  35820  itg2addnclem2  35825  itg2addnclem3  35826  itg2addnc  35827  itg2gt0cn  35828  ibladdnclem  35829  itgaddnclem1  35831  iblabsnclem  35836  iblabsnc  35837  iblmulc2nc  35838  itgmulc2nclem1  35839  itggt0cn  35843  ftc1anclem3  35848  ftc1anclem4  35849  ftc1anclem5  35850  ftc1anclem6  35851  ftc1anclem7  35852  ftc1anclem8  35853  areacirclem2  35862  sge0iunmptlemfi  43922  digvalnn0  45914  nn0digval  45915  dignn0fr  45916  dig2nn1st  45920  digexp  45922  2sphere  46064  itsclc0  46086  itsclc0b  46087