Theorem elrege0 13398

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11137	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13389	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  [,)cico 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ico 13295

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13399  rge0ssre  13400  0e0icopnf  13402  ge0addcl  13404  ge0mulcl  13405  fsumge0  15749  fprodge0  15949  isabvd  20784  abvge0  20789  nmolb  24700  nmoge0  24704  nmoi  24711  icopnfcnv  24927  cphsqrtcl  25169  tcphcph  25222  cphsscph  25236  ovolfsf  25456  ovolmge0  25462  ovolunlem1a  25481  ovoliunlem1  25487  ovolicc2lem4  25505  ioombl1lem4  25546  uniioombllem2  25568  uniioombllem6  25573  0plef  25657  i1fpos  25691  mbfi1fseqlem1  25700  mbfi1fseqlem3  25702  mbfi1fseqlem4  25703  mbfi1fseqlem5  25704  mbfi1fseqlem6  25705  mbfi1flimlem  25707  itg2const  25725  itg2const2  25726  itg2mulclem  25731  itg2mulc  25732  itg2monolem1  25735  itg2mono  25738  itg2addlem  25743  itg2gt0  25745  itg2cnlem1  25746  itg2cnlem2  25747  itg2cn  25748  iblconst  25803  itgconst  25804  ibladdlem  25805  itgaddlem1  25808  iblabslem  25813  iblabs  25814  iblmulc2  25816  itgmulc2lem1  25817  bddmulibl  25824  bddiblnc  25827  itggt0  25829  itgcn  25830  dvge0  25991  dvle  25992  dvfsumrlim  26016  cxpcn3lem  26729  cxpcn3  26730  resqrtcn  26731  loglesqrt  26743  areaf  26943  areacl  26944  areage0  26945  rlimcnp3  26949  jensenlem2  26969  jensen  26970  amgmlem  26971  amgm  26972  dchrisumlem3  27472  dchrmusumlema  27474  dchrmusum2  27475  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumiflem1  27482  dchrisum0lema  27495  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2  27499  axcontlem2  29052  axcontlem7  29057  axcontlem8  29058  axcontlem10  29060  rge0scvg  34133  esumpcvgval  34262  hasheuni  34269  esumcvg  34270  sibfof  34524  mbfposadd  38034  itg2addnclem2  38039  itg2addnclem3  38040  itg2addnc  38041  itg2gt0cn  38042  ibladdnclem  38043  itgaddnclem1  38045  iblabsnclem  38050  iblabsnc  38051  iblmulc2nc  38052  itgmulc2nclem1  38053  itggt0cn  38057  ftc1anclem3  38062  ftc1anclem4  38063  ftc1anclem5  38064  ftc1anclem6  38065  ftc1anclem7  38066  ftc1anclem8  38067  areacirclem2  38076  sge0iunmptlemfi  46856  digvalnn0  49090  nn0digval  49091  dignn0fr  49092  dig2nn1st  49096  digexp  49098  2sphere  49240  itsclc0  49262  itsclc0b  49263