Theorem elrege0 12845

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10645	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 12836	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  +∞cpnf 10674   ≤ cle 10678  [,)cico 12743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-addrcl 10600  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ico 12747

This theorem is referenced by:  nn0rp0  12846  rge0ssre  12847  0e0icopnf  12849  ge0addcl  12851  ge0mulcl  12852  fsumge0  15152  fprodge0  15349  isabvd  19593  abvge0  19598  nmolb  23328  nmoge0  23332  nmoi  23339  icopnfcnv  23548  cphsqrtcl  23790  tcphcph  23842  cphsscph  23856  ovolfsf  24074  ovolmge0  24080  ovolunlem1a  24099  ovoliunlem1  24105  ovolicc2lem4  24123  ioombl1lem4  24164  uniioombllem2  24186  uniioombllem6  24191  0plef  24275  i1fpos  24309  mbfi1fseqlem1  24318  mbfi1fseqlem3  24320  mbfi1fseqlem4  24321  mbfi1fseqlem5  24322  mbfi1fseqlem6  24323  mbfi1flimlem  24325  itg2const  24343  itg2const2  24344  itg2mulclem  24349  itg2mulc  24350  itg2monolem1  24353  itg2mono  24356  itg2addlem  24361  itg2gt0  24363  itg2cnlem1  24364  itg2cnlem2  24365  itg2cn  24366  iblconst  24420  itgconst  24421  ibladdlem  24422  itgaddlem1  24425  iblabslem  24430  iblabs  24431  iblmulc2  24433  itgmulc2lem1  24434  bddmulibl  24441  itggt0  24444  itgcn  24445  dvge0  24605  dvle  24606  dvfsumrlim  24630  cxpcn3lem  25330  cxpcn3  25331  resqrtcn  25332  loglesqrt  25341  areaf  25541  areacl  25542  areage0  25543  rlimcnp3  25547  jensenlem2  25567  jensen  25568  amgmlem  25569  amgm  25570  dchrisumlem3  26069  dchrmusumlema  26071  dchrmusum2  26072  dchrvmasumlem2  26076  dchrvmasumiflem1  26079  dchrisum0lema  26092  dchrisum0lem1b  26093  dchrisum0lem1  26094  dchrisum0lem2  26096  axcontlem2  26753  axcontlem7  26758  axcontlem8  26759  axcontlem10  26761  rge0scvg  31194  esumpcvgval  31339  hasheuni  31346  esumcvg  31347  sibfof  31600  mbfposadd  34941  itg2addnclem2  34946  itg2addnclem3  34947  itg2addnc  34948  itg2gt0cn  34949  ibladdnclem  34950  itgaddnclem1  34952  iblabsnclem  34957  iblabsnc  34958  iblmulc2nc  34959  itgmulc2nclem1  34960  bddiblnc  34964  itggt0cn  34966  ftc1anclem3  34971  ftc1anclem4  34972  ftc1anclem5  34973  ftc1anclem6  34974  ftc1anclem7  34975  ftc1anclem8  34976  areacirclem2  34985  sge0iunmptlemfi  42702  digvalnn0  44666  nn0digval  44667  dignn0fr  44668  dig2nn1st  44672  digexp  44674  2sphere  44743  itsclc0  44765  itsclc0b  44766