Theorem elrege0 13407

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11146	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13398	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176   ≤ cle 11180  [,)cico 13300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ico 13304

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13408  rge0ssre  13409  0e0icopnf  13411  ge0addcl  13413  ge0mulcl  13414  fsumge0  15758  fprodge0  15958  isabvd  20789  abvge0  20794  nmolb  24682  nmoge0  24686  nmoi  24693  icopnfcnv  24909  cphsqrtcl  25151  tcphcph  25204  cphsscph  25218  ovolfsf  25438  ovolmge0  25444  ovolunlem1a  25463  ovoliunlem1  25469  ovolicc2lem4  25487  ioombl1lem4  25528  uniioombllem2  25550  uniioombllem6  25555  0plef  25639  i1fpos  25673  mbfi1fseqlem1  25682  mbfi1fseqlem3  25684  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  mbfi1fseqlem6  25687  mbfi1flimlem  25689  itg2const  25707  itg2const2  25708  itg2mulclem  25713  itg2mulc  25714  itg2monolem1  25717  itg2mono  25720  itg2addlem  25725  itg2gt0  25727  itg2cnlem1  25728  itg2cnlem2  25729  itg2cn  25730  iblconst  25785  itgconst  25786  ibladdlem  25787  itgaddlem1  25790  iblabslem  25795  iblabs  25796  iblmulc2  25798  itgmulc2lem1  25799  bddmulibl  25806  bddiblnc  25809  itggt0  25811  itgcn  25812  dvge0  25973  dvle  25974  dvfsumrlim  25998  cxpcn3lem  26711  cxpcn3  26712  resqrtcn  26713  loglesqrt  26725  areaf  26925  areacl  26926  areage0  26927  rlimcnp3  26931  jensenlem2  26951  jensen  26952  amgmlem  26953  amgm  26954  dchrisumlem3  27454  dchrmusumlema  27456  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem2  27461  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0lema  27477  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2  27481  axcontlem2  29034  axcontlem7  29039  axcontlem8  29040  axcontlem10  29042  rge0scvg  34093  esumpcvgval  34222  hasheuni  34229  esumcvg  34230  sibfof  34484  mbfposadd  37988  itg2addnclem2  37993  itg2addnclem3  37994  itg2addnc  37995  itg2gt0cn  37996  ibladdnclem  37997  itgaddnclem1  37999  iblabsnclem  38004  iblabsnc  38005  iblmulc2nc  38006  itgmulc2nclem1  38007  itggt0cn  38011  ftc1anclem3  38016  ftc1anclem4  38017  ftc1anclem5  38018  ftc1anclem6  38019  ftc1anclem7  38020  ftc1anclem8  38021  areacirclem2  38030  sge0iunmptlemfi  46841  digvalnn0  49075  nn0digval  49076  dignn0fr  49077  dig2nn1st  49081  digexp  49083  2sphere  49225  itsclc0  49247  itsclc0b  49248