Theorem elrege0 13476

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11245	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13467	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  0cc0 11137  +∞cpnf 11274   ≤ cle 11278  [,)cico 13371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-addrcl 11198  ax-rnegex 11208  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-ico 13375

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13477  rge0ssre  13478  0e0icopnf  13480  ge0addcl  13482  ge0mulcl  13483  fsumge0  15813  fprodge0  16011  isabvd  20781  abvge0  20786  nmolb  24674  nmoge0  24678  nmoi  24685  icopnfcnv  24909  cphsqrtcl  25154  tcphcph  25207  cphsscph  25221  ovolfsf  25442  ovolmge0  25448  ovolunlem1a  25467  ovoliunlem1  25473  ovolicc2lem4  25491  ioombl1lem4  25532  uniioombllem2  25554  uniioombllem6  25559  0plef  25643  i1fpos  25677  mbfi1fseqlem1  25686  mbfi1fseqlem3  25688  mbfi1fseqlem4  25689  mbfi1fseqlem5  25690  mbfi1fseqlem6  25691  mbfi1flimlem  25693  itg2const  25711  itg2const2  25712  itg2mulclem  25717  itg2mulc  25718  itg2monolem1  25721  itg2mono  25724  itg2addlem  25729  itg2gt0  25731  itg2cnlem1  25732  itg2cnlem2  25733  itg2cn  25734  iblconst  25789  itgconst  25790  ibladdlem  25791  itgaddlem1  25794  iblabslem  25799  iblabs  25800  iblmulc2  25802  itgmulc2lem1  25803  bddmulibl  25810  bddiblnc  25813  itggt0  25815  itgcn  25816  dvge0  25981  dvle  25982  dvfsumrlim  26008  cxpcn3lem  26726  cxpcn3  26727  resqrtcn  26728  loglesqrt  26740  areaf  26940  areacl  26941  areage0  26942  rlimcnp3  26946  jensenlem2  26967  jensen  26968  amgmlem  26969  amgm  26970  dchrisumlem3  27471  dchrmusumlema  27473  dchrmusum2  27474  dchrvmasumlem2  27478  dchrvmasumiflem1  27481  dchrisum0lema  27494  dchrisum0lem1b  27495  dchrisum0lem1  27496  dchrisum0lem2  27498  axcontlem2  28910  axcontlem7  28915  axcontlem8  28916  axcontlem10  28918  rge0scvg  33907  esumpcvgval  34038  hasheuni  34045  esumcvg  34046  sibfof  34301  mbfposadd  37633  itg2addnclem2  37638  itg2addnclem3  37639  itg2addnc  37640  itg2gt0cn  37641  ibladdnclem  37642  itgaddnclem1  37644  iblabsnclem  37649  iblabsnc  37650  iblmulc2nc  37651  itgmulc2nclem1  37652  itggt0cn  37656  ftc1anclem3  37661  ftc1anclem4  37662  ftc1anclem5  37663  ftc1anclem6  37664  ftc1anclem7  37665  ftc1anclem8  37666  areacirclem2  37675  sge0iunmptlemfi  46385  digvalnn0  48478  nn0digval  48479  dignn0fr  48480  dig2nn1st  48484  digexp  48486  2sphere  48628  itsclc0  48650  itsclc0b  48651