Theorem elrege0 13435

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11220	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13426	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   ≤ cle 11253  [,)cico 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-ico 13334

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13436  rge0ssre  13437  0e0icopnf  13439  ge0addcl  13441  ge0mulcl  13442  fsumge0  15745  fprodge0  15941  isabvd  20571  abvge0  20576  nmolb  24454  nmoge0  24458  nmoi  24465  icopnfcnv  24687  cphsqrtcl  24932  tcphcph  24985  cphsscph  24999  ovolfsf  25220  ovolmge0  25226  ovolunlem1a  25245  ovoliunlem1  25251  ovolicc2lem4  25269  ioombl1lem4  25310  uniioombllem2  25332  uniioombllem6  25337  0plef  25421  i1fpos  25456  mbfi1fseqlem1  25465  mbfi1fseqlem3  25467  mbfi1fseqlem4  25468  mbfi1fseqlem5  25469  mbfi1fseqlem6  25470  mbfi1flimlem  25472  itg2const  25490  itg2const2  25491  itg2mulclem  25496  itg2mulc  25497  itg2monolem1  25500  itg2mono  25503  itg2addlem  25508  itg2gt0  25510  itg2cnlem1  25511  itg2cnlem2  25512  itg2cn  25513  iblconst  25567  itgconst  25568  ibladdlem  25569  itgaddlem1  25572  iblabslem  25577  iblabs  25578  iblmulc2  25580  itgmulc2lem1  25581  bddmulibl  25588  bddiblnc  25591  itggt0  25593  itgcn  25594  dvge0  25758  dvle  25759  dvfsumrlim  25783  cxpcn3lem  26491  cxpcn3  26492  resqrtcn  26493  loglesqrt  26502  areaf  26702  areacl  26703  areage0  26704  rlimcnp3  26708  jensenlem2  26728  jensen  26729  amgmlem  26730  amgm  26731  dchrisumlem3  27230  dchrmusumlema  27232  dchrmusum2  27233  dchrvmasumlem2  27237  dchrvmasumiflem1  27240  dchrisum0lema  27253  dchrisum0lem1b  27254  dchrisum0lem1  27255  dchrisum0lem2  27257  axcontlem2  28490  axcontlem7  28495  axcontlem8  28496  axcontlem10  28498  rge0scvg  33227  esumpcvgval  33374  hasheuni  33381  esumcvg  33382  sibfof  33637  mbfposadd  36838  itg2addnclem2  36843  itg2addnclem3  36844  itg2addnc  36845  itg2gt0cn  36846  ibladdnclem  36847  itgaddnclem1  36849  iblabsnclem  36854  iblabsnc  36855  iblmulc2nc  36856  itgmulc2nclem1  36857  itggt0cn  36861  ftc1anclem3  36866  ftc1anclem4  36867  ftc1anclem5  36868  ftc1anclem6  36869  ftc1anclem7  36870  ftc1anclem8  36871  areacirclem2  36880  sge0iunmptlemfi  45427  digvalnn0  47372  nn0digval  47373  dignn0fr  47374  dig2nn1st  47378  digexp  47380  2sphere  47522  itsclc0  47544  itsclc0b  47545