Theorem elrege0 13422

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11183	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13413	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212   ≤ cle 11216  [,)cico 13315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ico 13319

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13423  rge0ssre  13424  0e0icopnf  13426  ge0addcl  13428  ge0mulcl  13429  fsumge0  15768  fprodge0  15966  isabvd  20728  abvge0  20733  nmolb  24612  nmoge0  24616  nmoi  24623  icopnfcnv  24847  cphsqrtcl  25091  tcphcph  25144  cphsscph  25158  ovolfsf  25379  ovolmge0  25385  ovolunlem1a  25404  ovoliunlem1  25410  ovolicc2lem4  25428  ioombl1lem4  25469  uniioombllem2  25491  uniioombllem6  25496  0plef  25580  i1fpos  25614  mbfi1fseqlem1  25623  mbfi1fseqlem3  25625  mbfi1fseqlem4  25626  mbfi1fseqlem5  25627  mbfi1fseqlem6  25628  mbfi1flimlem  25630  itg2const  25648  itg2const2  25649  itg2mulclem  25654  itg2mulc  25655  itg2monolem1  25658  itg2mono  25661  itg2addlem  25666  itg2gt0  25668  itg2cnlem1  25669  itg2cnlem2  25670  itg2cn  25671  iblconst  25726  itgconst  25727  ibladdlem  25728  itgaddlem1  25731  iblabslem  25736  iblabs  25737  iblmulc2  25739  itgmulc2lem1  25740  bddmulibl  25747  bddiblnc  25750  itggt0  25752  itgcn  25753  dvge0  25918  dvle  25919  dvfsumrlim  25945  cxpcn3lem  26664  cxpcn3  26665  resqrtcn  26666  loglesqrt  26678  areaf  26878  areacl  26879  areage0  26880  rlimcnp3  26884  jensenlem2  26905  jensen  26906  amgmlem  26907  amgm  26908  dchrisumlem3  27409  dchrmusumlema  27411  dchrmusum2  27412  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumiflem1  27419  dchrisum0lema  27432  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrisum0lem2  27436  axcontlem2  28899  axcontlem7  28904  axcontlem8  28905  axcontlem10  28907  rge0scvg  33946  esumpcvgval  34075  hasheuni  34082  esumcvg  34083  sibfof  34338  mbfposadd  37668  itg2addnclem2  37673  itg2addnclem3  37674  itg2addnc  37675  itg2gt0cn  37676  ibladdnclem  37677  itgaddnclem1  37679  iblabsnclem  37684  iblabsnc  37685  iblmulc2nc  37686  itgmulc2nclem1  37687  itggt0cn  37691  ftc1anclem3  37696  ftc1anclem4  37697  ftc1anclem5  37698  ftc1anclem6  37699  ftc1anclem7  37700  ftc1anclem8  37701  areacirclem2  37710  sge0iunmptlemfi  46418  digvalnn0  48592  nn0digval  48593  dignn0fr  48594  dig2nn1st  48598  digexp  48600  2sphere  48742  itsclc0  48764  itsclc0b  48765