Theorem elrege0 13514

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11292	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13505	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321   ≤ cle 11325  [,)cico 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ico 13413

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13515  rge0ssre  13516  0e0icopnf  13518  ge0addcl  13520  ge0mulcl  13521  fsumge0  15843  fprodge0  16041  isabvd  20835  abvge0  20840  nmolb  24759  nmoge0  24763  nmoi  24770  icopnfcnv  24992  cphsqrtcl  25237  tcphcph  25290  cphsscph  25304  ovolfsf  25525  ovolmge0  25531  ovolunlem1a  25550  ovoliunlem1  25556  ovolicc2lem4  25574  ioombl1lem4  25615  uniioombllem2  25637  uniioombllem6  25642  0plef  25726  i1fpos  25761  mbfi1fseqlem1  25770  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  mbfi1flimlem  25777  itg2const  25795  itg2const2  25796  itg2mulclem  25801  itg2mulc  25802  itg2monolem1  25805  itg2mono  25808  itg2addlem  25813  itg2gt0  25815  itg2cnlem1  25816  itg2cnlem2  25817  itg2cn  25818  iblconst  25873  itgconst  25874  ibladdlem  25875  itgaddlem1  25878  iblabslem  25883  iblabs  25884  iblmulc2  25886  itgmulc2lem1  25887  bddmulibl  25894  bddiblnc  25897  itggt0  25899  itgcn  25900  dvge0  26065  dvle  26066  dvfsumrlim  26092  cxpcn3lem  26808  cxpcn3  26809  resqrtcn  26810  loglesqrt  26822  areaf  27022  areacl  27023  areage0  27024  rlimcnp3  27028  jensenlem2  27049  jensen  27050  amgmlem  27051  amgm  27052  dchrisumlem3  27553  dchrmusumlema  27555  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0lema  27576  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2  27580  axcontlem2  28998  axcontlem7  29003  axcontlem8  29004  axcontlem10  29006  rge0scvg  33895  esumpcvgval  34042  hasheuni  34049  esumcvg  34050  sibfof  34305  mbfposadd  37627  itg2addnclem2  37632  itg2addnclem3  37633  itg2addnc  37634  itg2gt0cn  37635  ibladdnclem  37636  itgaddnclem1  37638  iblabsnclem  37643  iblabsnc  37644  iblmulc2nc  37645  itgmulc2nclem1  37646  itggt0cn  37650  ftc1anclem3  37655  ftc1anclem4  37656  ftc1anclem5  37657  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660  areacirclem2  37669  sge0iunmptlemfi  46334  digvalnn0  48333  nn0digval  48334  dignn0fr  48335  dig2nn1st  48339  digexp  48341  2sphere  48483  itsclc0  48505  itsclc0b  48506