Theorem elrege0 12832

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10632	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 12823	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  +∞cpnf 10661   ≤ cle 10665  [,)cico 12728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12732

This theorem is referenced by:  nn0rp0  12833  rge0ssre  12834  0e0icopnf  12836  ge0addcl  12838  ge0mulcl  12839  fsumge0  15142  fprodge0  15339  isabvd  19584  abvge0  19589  nmolb  23323  nmoge0  23327  nmoi  23334  icopnfcnv  23547  cphsqrtcl  23789  tcphcph  23841  cphsscph  23855  ovolfsf  24075  ovolmge0  24081  ovolunlem1a  24100  ovoliunlem1  24106  ovolicc2lem4  24124  ioombl1lem4  24165  uniioombllem2  24187  uniioombllem6  24192  0plef  24276  i1fpos  24310  mbfi1fseqlem1  24319  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  mbfi1fseqlem5  24323  mbfi1fseqlem6  24324  mbfi1flimlem  24326  itg2const  24344  itg2const2  24345  itg2mulclem  24350  itg2mulc  24351  itg2monolem1  24354  itg2mono  24357  itg2addlem  24362  itg2gt0  24364  itg2cnlem1  24365  itg2cnlem2  24366  itg2cn  24367  iblconst  24421  itgconst  24422  ibladdlem  24423  itgaddlem1  24426  iblabslem  24431  iblabs  24432  iblmulc2  24434  itgmulc2lem1  24435  bddmulibl  24442  bddiblnc  24445  itggt0  24447  itgcn  24448  dvge0  24609  dvle  24610  dvfsumrlim  24634  cxpcn3lem  25336  cxpcn3  25337  resqrtcn  25338  loglesqrt  25347  areaf  25547  areacl  25548  areage0  25549  rlimcnp3  25553  jensenlem2  25573  jensen  25574  amgmlem  25575  amgm  25576  dchrisumlem3  26075  dchrmusumlema  26077  dchrmusum2  26078  dchrvmasumlem2  26082  dchrvmasumiflem1  26085  dchrisum0lema  26098  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2  26102  axcontlem2  26759  axcontlem7  26764  axcontlem8  26765  axcontlem10  26767  rge0scvg  31302  esumpcvgval  31447  hasheuni  31454  esumcvg  31455  sibfof  31708  mbfposadd  35104  itg2addnclem2  35109  itg2addnclem3  35110  itg2addnc  35111  itg2gt0cn  35112  ibladdnclem  35113  itgaddnclem1  35115  iblabsnclem  35120  iblabsnc  35121  iblmulc2nc  35122  itgmulc2nclem1  35123  itggt0cn  35127  ftc1anclem3  35132  ftc1anclem4  35133  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem6  35135  ftc1anclem7  35136  ftc1anclem8  35137  areacirclem2  35146  sge0iunmptlemfi  43052  digvalnn0  45013  nn0digval  45014  dignn0fr  45015  dig2nn1st  45019  digexp  45021  2sphere  45163  itsclc0  45185  itsclc0b  45186