Theorem elrege0 13490

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11260	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13481	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289   ≤ cle 11293  [,)cico 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-ico 13389

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13491  rge0ssre  13492  0e0icopnf  13494  ge0addcl  13496  ge0mulcl  13497  fsumge0  15827  fprodge0  16025  isabvd  20829  abvge0  20834  nmolb  24753  nmoge0  24757  nmoi  24764  icopnfcnv  24986  cphsqrtcl  25231  tcphcph  25284  cphsscph  25298  ovolfsf  25519  ovolmge0  25525  ovolunlem1a  25544  ovoliunlem1  25550  ovolicc2lem4  25568  ioombl1lem4  25609  uniioombllem2  25631  uniioombllem6  25636  0plef  25720  i1fpos  25755  mbfi1fseqlem1  25764  mbfi1fseqlem3  25766  mbfi1fseqlem4  25767  mbfi1fseqlem5  25768  mbfi1fseqlem6  25769  mbfi1flimlem  25771  itg2const  25789  itg2const2  25790  itg2mulclem  25795  itg2mulc  25796  itg2monolem1  25799  itg2mono  25802  itg2addlem  25807  itg2gt0  25809  itg2cnlem1  25810  itg2cnlem2  25811  itg2cn  25812  iblconst  25867  itgconst  25868  ibladdlem  25869  itgaddlem1  25872  iblabslem  25877  iblabs  25878  iblmulc2  25880  itgmulc2lem1  25881  bddmulibl  25888  bddiblnc  25891  itggt0  25893  itgcn  25894  dvge0  26059  dvle  26060  dvfsumrlim  26086  cxpcn3lem  26804  cxpcn3  26805  resqrtcn  26806  loglesqrt  26818  areaf  27018  areacl  27019  areage0  27020  rlimcnp3  27024  jensenlem2  27045  jensen  27046  amgmlem  27047  amgm  27048  dchrisumlem3  27549  dchrmusumlema  27551  dchrmusum2  27552  dchrvmasumlem2  27556  dchrvmasumiflem1  27559  dchrisum0lema  27572  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2  27576  axcontlem2  28994  axcontlem7  28999  axcontlem8  29000  axcontlem10  29002  rge0scvg  33909  esumpcvgval  34058  hasheuni  34065  esumcvg  34066  sibfof  34321  mbfposadd  37653  itg2addnclem2  37658  itg2addnclem3  37659  itg2addnc  37660  itg2gt0cn  37661  ibladdnclem  37662  itgaddnclem1  37664  iblabsnclem  37669  iblabsnc  37670  iblmulc2nc  37671  itgmulc2nclem1  37672  itggt0cn  37676  ftc1anclem3  37681  ftc1anclem4  37682  ftc1anclem5  37683  ftc1anclem6  37684  ftc1anclem7  37685  ftc1anclem8  37686  areacirclem2  37695  sge0iunmptlemfi  46368  digvalnn0  48448  nn0digval  48449  dignn0fr  48450  dig2nn1st  48454  digexp  48456  2sphere  48598  itsclc0  48620  itsclc0b  48621