Theorem elrege0 13499

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11227	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13490	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  +∞cpnf 11257   ≤ cle 11261  [,)cico 13392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-addrcl 11178  ax-rnegex 11188  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-ico 13396

This theorem is used by:  nn0rp0  13500  rge0ssre  13501  0e0icopnf  13503  ge0addcl  13505  ge0mulcl  13506  fsumge0  15872  fprodge0  16072  isabvd  20967  abvge0  20972  nmolb  24927  nmoge0  24931  nmoi  24938  icopnfcnv  25154  cphsqrtcl  25396  tcphcph  25449  cphsscph  25463  ovolfsf  25683  ovolmge0  25689  ovolunlem1a  25708  ovoliunlem1  25714  ovolicc2lem4  25732  ioombl1lem4  25773  uniioombllem2  25795  uniioombllem6  25800  0plef  25884  i1fpos  25918  mbfi1fseqlem1  25927  mbfi1fseqlem3  25929  mbfi1fseqlem4  25930  mbfi1fseqlem5  25931  mbfi1fseqlem6  25932  mbfi1flimlem  25934  itg2const  25952  itg2const2  25953  itg2mulclem  25958  itg2mulc  25959  itg2monolem1  25962  itg2mono  25965  itg2addlem  25970  itg2gt0  25972  itg2cnlem1  25973  itg2cnlem2  25974  itg2cn  25975  iblconst  26030  itgconst  26031  ibladdlem  26032  itgaddlem1  26035  iblabslem  26040  iblabs  26041  iblmulc2  26043  itgmulc2lem1  26044  bddmulibl  26051  bddiblnc  26054  itggt0  26056  itgcn  26057  dvge0  26218  dvle  26219  dvfsumrlim  26243  cxpcn3lem  26965  cxpcn3  26966  resqrtcn  26967  loglesqrt  26979  areaf  27179  areacl  27180  areage0  27181  rlimcnp3  27185  jensenlem2  27205  jensen  27206  amgmlem  27207  amgm  27208  dchrisumlem3  27708  dchrmusumlema  27710  dchrmusum2  27711  dchrvmasumlem2  27715  dchrvmasumiflem1  27718  dchrisum0lema  27731  dchrisum0lem1b  27732  dchrisum0lem1  27733  dchrisum0lem2  27735  axcontlem2  29372  axcontlem7  29377  axcontlem8  29378  axcontlem10  29380  rge0scvg  34405  esumpcvgval  34534  hasheuni  34541  esumcvg  34542  sibfof  34797  mbfposadd  38377  itg2addnclem2  38382  itg2addnclem3  38383  itg2addnc  38384  itg2gt0cn  38385  ibladdnclem  38386  itgaddnclem1  38388  iblabsnclem  38393  iblabsnc  38394  iblmulc2nc  38395  itgmulc2nclem1  38396  itggt0cn  38400  ftc1anclem3  38405  ftc1anclem4  38406  ftc1anclem5  38407  ftc1anclem6  38408  ftc1anclem7  38409  ftc1anclem8  38410  areacirclem2  38419  sge0iunmptlemfi  47187  digvalnn0  49438  nn0digval  49439  dignn0fr  49440  dig2nn1st  49444  digexp  49446  2sphere  49588  itsclc0  49610  itsclc0b  49611