Theorem elrege0 13480

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11209	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13471	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  0cc0 11099  +∞cpnf 11239   ≤ cle 11243  [,)cico 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-addrcl 11160  ax-rnegex 11170  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-ico 13377

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13481  rge0ssre  13482  0e0icopnf  13484  ge0addcl  13486  ge0mulcl  13487  fsumge0  15846  fprodge0  16046  isabvd  20892  abvge0  20897  nmolb  24842  nmoge0  24846  nmoi  24853  icopnfcnv  25069  cphsqrtcl  25311  tcphcph  25364  cphsscph  25378  ovolfsf  25598  ovolmge0  25604  ovolunlem1a  25623  ovoliunlem1  25629  ovolicc2lem4  25647  ioombl1lem4  25688  uniioombllem2  25710  uniioombllem6  25715  0plef  25799  i1fpos  25833  mbfi1fseqlem1  25842  mbfi1fseqlem3  25844  mbfi1fseqlem4  25845  mbfi1fseqlem5  25846  mbfi1fseqlem6  25847  mbfi1flimlem  25849  itg2const  25867  itg2const2  25868  itg2mulclem  25873  itg2mulc  25874  itg2monolem1  25877  itg2mono  25880  itg2addlem  25885  itg2gt0  25887  itg2cnlem1  25888  itg2cnlem2  25889  itg2cn  25890  iblconst  25945  itgconst  25946  ibladdlem  25947  itgaddlem1  25950  iblabslem  25955  iblabs  25956  iblmulc2  25958  itgmulc2lem1  25959  bddmulibl  25966  bddiblnc  25969  itggt0  25971  itgcn  25972  dvge0  26133  dvle  26134  dvfsumrlim  26158  cxpcn3lem  26877  cxpcn3  26878  resqrtcn  26879  loglesqrt  26891  areaf  27091  areacl  27092  areage0  27093  rlimcnp3  27097  jensenlem2  27117  jensen  27118  amgmlem  27119  amgm  27120  dchrisumlem3  27620  dchrmusumlema  27622  dchrmusum2  27623  dchrvmasumlem2  27627  dchrvmasumiflem1  27630  dchrisum0lema  27643  dchrisum0lem1b  27644  dchrisum0lem1  27645  dchrisum0lem2  27647  axcontlem2  29255  axcontlem7  29260  axcontlem8  29261  axcontlem10  29263  rge0scvg  34283  esumpcvgval  34412  hasheuni  34419  esumcvg  34420  sibfof  34674  mbfposadd  38205  itg2addnclem2  38210  itg2addnclem3  38211  itg2addnc  38212  itg2gt0cn  38213  ibladdnclem  38214  itgaddnclem1  38216  iblabsnclem  38221  iblabsnc  38222  iblmulc2nc  38223  itgmulc2nclem1  38224  itggt0cn  38228  ftc1anclem3  38233  ftc1anclem4  38234  ftc1anclem5  38235  ftc1anclem6  38236  ftc1anclem7  38237  ftc1anclem8  38238  areacirclem2  38247  sge0iunmptlemfi  47018  digvalnn0  49263  nn0digval  49264  dignn0fr  49265  dig2nn1st  49269  digexp  49271  2sphere  49413  itsclc0  49435  itsclc0b  49436