Theorem elrege0 13391

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11152	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13382	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  +∞cpnf 11181   ≤ cle 11185  [,)cico 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ico 13288

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13392  rge0ssre  13393  0e0icopnf  13395  ge0addcl  13397  ge0mulcl  13398  fsumge0  15737  fprodge0  15935  isabvd  20732  abvge0  20737  nmolb  24638  nmoge0  24642  nmoi  24649  icopnfcnv  24873  cphsqrtcl  25117  tcphcph  25170  cphsscph  25184  ovolfsf  25405  ovolmge0  25411  ovolunlem1a  25430  ovoliunlem1  25436  ovolicc2lem4  25454  ioombl1lem4  25495  uniioombllem2  25517  uniioombllem6  25522  0plef  25606  i1fpos  25640  mbfi1fseqlem1  25649  mbfi1fseqlem3  25651  mbfi1fseqlem4  25652  mbfi1fseqlem5  25653  mbfi1fseqlem6  25654  mbfi1flimlem  25656  itg2const  25674  itg2const2  25675  itg2mulclem  25680  itg2mulc  25681  itg2monolem1  25684  itg2mono  25687  itg2addlem  25692  itg2gt0  25694  itg2cnlem1  25695  itg2cnlem2  25696  itg2cn  25697  iblconst  25752  itgconst  25753  ibladdlem  25754  itgaddlem1  25757  iblabslem  25762  iblabs  25763  iblmulc2  25765  itgmulc2lem1  25766  bddmulibl  25773  bddiblnc  25776  itggt0  25778  itgcn  25779  dvge0  25944  dvle  25945  dvfsumrlim  25971  cxpcn3lem  26690  cxpcn3  26691  resqrtcn  26692  loglesqrt  26704  areaf  26904  areacl  26905  areage0  26906  rlimcnp3  26910  jensenlem2  26931  jensen  26932  amgmlem  26933  amgm  26934  dchrisumlem3  27435  dchrmusumlema  27437  dchrmusum2  27438  dchrvmasumlem2  27442  dchrvmasumiflem1  27445  dchrisum0lema  27458  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem1  27460  dchrisum0lem2  27462  axcontlem2  28945  axcontlem7  28950  axcontlem8  28951  axcontlem10  28953  rge0scvg  33932  esumpcvgval  34061  hasheuni  34068  esumcvg  34069  sibfof  34324  mbfposadd  37654  itg2addnclem2  37659  itg2addnclem3  37660  itg2addnc  37661  itg2gt0cn  37662  ibladdnclem  37663  itgaddnclem1  37665  iblabsnclem  37670  iblabsnc  37671  iblmulc2nc  37672  itgmulc2nclem1  37673  itggt0cn  37677  ftc1anclem3  37682  ftc1anclem4  37683  ftc1anclem5  37684  ftc1anclem6  37685  ftc1anclem7  37686  ftc1anclem8  37687  areacirclem2  37696  sge0iunmptlemfi  46404  digvalnn0  48581  nn0digval  48582  dignn0fr  48583  dig2nn1st  48587  digexp  48589  2sphere  48731  itsclc0  48753  itsclc0b  48754