Theorem elrege0 13508

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11235	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13499	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125  +∞cpnf 11265   ≤ cle 11269  [,)cico 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-addrcl 11186  ax-rnegex 11196  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-ico 13405

This theorem is used by:  nn0rp0  13509  rge0ssre  13510  0e0icopnf  13512  ge0addcl  13514  ge0mulcl  13515  fsumge0  15883  fprodge0  16081  isabvd  20979  abvge0  20984  nmolb  24944  nmoge0  24948  nmoi  24955  icopnfcnv  25171  cphsqrtcl  25413  tcphcph  25466  cphsscph  25480  ovolfsf  25700  ovolmge0  25706  ovolunlem1a  25725  ovoliunlem1  25731  ovolicc2lem4  25749  ioombl1lem4  25790  uniioombllem2  25812  uniioombllem6  25817  0plef  25901  i1fpos  25935  mbfi1fseqlem1  25944  mbfi1fseqlem3  25946  mbfi1fseqlem4  25947  mbfi1fseqlem5  25948  mbfi1fseqlem6  25949  mbfi1flimlem  25951  itg2const  25969  itg2const2  25970  itg2mulclem  25975  itg2mulc  25976  itg2monolem1  25979  itg2mono  25982  itg2addlem  25987  itg2gt0  25989  itg2cnlem1  25990  itg2cnlem2  25991  itg2cn  25992  iblconst  26046  itgconst  26047  ibladdlem  26048  itgaddlem1  26051  iblabslem  26056  iblabs  26057  iblmulc2  26059  itgmulc2lem1  26060  bddmulibl  26067  bddiblnc  26070  itggt0  26072  itgcn  26073  dvge0  26234  dvle  26235  dvfsumrlim  26259  cxpcn3lem  26985  cxpcn3  26986  resqrtcn  26987  loglesqrt  26999  areaf  27199  areacl  27200  areage0  27201  rlimcnp3  27205  jensenlem2  27225  jensen  27226  amgmlem  27227  amgm  27228  dchrisumlem3  27728  dchrmusumlema  27730  dchrmusum2  27731  dchrvmasumlem2  27735  dchrvmasumiflem1  27738  dchrisum0lema  27751  dchrisum0lem1b  27752  dchrisum0lem1  27753  dchrisum0lem2  27755  axcontlem2  29423  axcontlem7  29428  axcontlem8  29429  axcontlem10  29431  rge0scvg  34460  esumpcvgval  34589  hasheuni  34596  esumcvg  34597  sibfof  34852  mbfposadd  38417  itg2addnclem2  38422  itg2addnclem3  38423  itg2addnc  38424  itg2gt0cn  38425  ibladdnclem  38426  itgaddnclem1  38428  iblabsnclem  38433  iblabsnc  38434  iblmulc2nc  38435  itgmulc2nclem1  38436  itggt0cn  38440  ftc1anclem3  38445  ftc1anclem4  38446  ftc1anclem5  38447  ftc1anclem6  38448  ftc1anclem7  38449  ftc1anclem8  38450  areacirclem2  38459  sge0iunmptlemfi  47242  digvalnn0  49530  nn0digval  49531  dignn0fr  49532  dig2nn1st  49536  digexp  49538  2sphere  49680  itsclc0  49702  itsclc0b  49703