Theorem elrege0 13415

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11176	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13406	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  +∞cpnf 11205   ≤ cle 11209  [,)cico 13308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ico 13312

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13416  rge0ssre  13417  0e0icopnf  13419  ge0addcl  13421  ge0mulcl  13422  fsumge0  15761  fprodge0  15959  isabvd  20721  abvge0  20726  nmolb  24605  nmoge0  24609  nmoi  24616  icopnfcnv  24840  cphsqrtcl  25084  tcphcph  25137  cphsscph  25151  ovolfsf  25372  ovolmge0  25378  ovolunlem1a  25397  ovoliunlem1  25403  ovolicc2lem4  25421  ioombl1lem4  25462  uniioombllem2  25484  uniioombllem6  25489  0plef  25573  i1fpos  25607  mbfi1fseqlem1  25616  mbfi1fseqlem3  25618  mbfi1fseqlem4  25619  mbfi1fseqlem5  25620  mbfi1fseqlem6  25621  mbfi1flimlem  25623  itg2const  25641  itg2const2  25642  itg2mulclem  25647  itg2mulc  25648  itg2monolem1  25651  itg2mono  25654  itg2addlem  25659  itg2gt0  25661  itg2cnlem1  25662  itg2cnlem2  25663  itg2cn  25664  iblconst  25719  itgconst  25720  ibladdlem  25721  itgaddlem1  25724  iblabslem  25729  iblabs  25730  iblmulc2  25732  itgmulc2lem1  25733  bddmulibl  25740  bddiblnc  25743  itggt0  25745  itgcn  25746  dvge0  25911  dvle  25912  dvfsumrlim  25938  cxpcn3lem  26657  cxpcn3  26658  resqrtcn  26659  loglesqrt  26671  areaf  26871  areacl  26872  areage0  26873  rlimcnp3  26877  jensenlem2  26898  jensen  26899  amgmlem  26900  amgm  26901  dchrisumlem3  27402  dchrmusumlema  27404  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0lema  27425  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2  27429  axcontlem2  28892  axcontlem7  28897  axcontlem8  28898  axcontlem10  28900  rge0scvg  33939  esumpcvgval  34068  hasheuni  34075  esumcvg  34076  sibfof  34331  mbfposadd  37661  itg2addnclem2  37666  itg2addnclem3  37667  itg2addnc  37668  itg2gt0cn  37669  ibladdnclem  37670  itgaddnclem1  37672  iblabsnclem  37677  iblabsnc  37678  iblmulc2nc  37679  itgmulc2nclem1  37680  itggt0cn  37684  ftc1anclem3  37689  ftc1anclem4  37690  ftc1anclem5  37691  ftc1anclem6  37692  ftc1anclem7  37693  ftc1anclem8  37694  areacirclem2  37703  sge0iunmptlemfi  46411  digvalnn0  48588  nn0digval  48589  dignn0fr  48590  dig2nn1st  48594  digexp  48596  2sphere  48738  itsclc0  48760  itsclc0b  48761