Theorem elrege0 13494

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11263	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13485	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292   ≤ cle 11296  [,)cico 13389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13495  rge0ssre  13496  0e0icopnf  13498  ge0addcl  13500  ge0mulcl  13501  fsumge0  15831  fprodge0  16029  isabvd  20813  abvge0  20818  nmolb  24738  nmoge0  24742  nmoi  24749  icopnfcnv  24973  cphsqrtcl  25218  tcphcph  25271  cphsscph  25285  ovolfsf  25506  ovolmge0  25512  ovolunlem1a  25531  ovoliunlem1  25537  ovolicc2lem4  25555  ioombl1lem4  25596  uniioombllem2  25618  uniioombllem6  25623  0plef  25707  i1fpos  25741  mbfi1fseqlem1  25750  mbfi1fseqlem3  25752  mbfi1fseqlem4  25753  mbfi1fseqlem5  25754  mbfi1fseqlem6  25755  mbfi1flimlem  25757  itg2const  25775  itg2const2  25776  itg2mulclem  25781  itg2mulc  25782  itg2monolem1  25785  itg2mono  25788  itg2addlem  25793  itg2gt0  25795  itg2cnlem1  25796  itg2cnlem2  25797  itg2cn  25798  iblconst  25853  itgconst  25854  ibladdlem  25855  itgaddlem1  25858  iblabslem  25863  iblabs  25864  iblmulc2  25866  itgmulc2lem1  25867  bddmulibl  25874  bddiblnc  25877  itggt0  25879  itgcn  25880  dvge0  26045  dvle  26046  dvfsumrlim  26072  cxpcn3lem  26790  cxpcn3  26791  resqrtcn  26792  loglesqrt  26804  areaf  27004  areacl  27005  areage0  27006  rlimcnp3  27010  jensenlem2  27031  jensen  27032  amgmlem  27033  amgm  27034  dchrisumlem3  27535  dchrmusumlema  27537  dchrmusum2  27538  dchrvmasumlem2  27542  dchrvmasumiflem1  27545  dchrisum0lema  27558  dchrisum0lem1b  27559  dchrisum0lem1  27560  dchrisum0lem2  27562  axcontlem2  28980  axcontlem7  28985  axcontlem8  28986  axcontlem10  28988  rge0scvg  33948  esumpcvgval  34079  hasheuni  34086  esumcvg  34087  sibfof  34342  mbfposadd  37674  itg2addnclem2  37679  itg2addnclem3  37680  itg2addnc  37681  itg2gt0cn  37682  ibladdnclem  37683  itgaddnclem1  37685  iblabsnclem  37690  iblabsnc  37691  iblmulc2nc  37692  itgmulc2nclem1  37693  itggt0cn  37697  ftc1anclem3  37702  ftc1anclem4  37703  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem7  37706  ftc1anclem8  37707  areacirclem2  37716  sge0iunmptlemfi  46428  digvalnn0  48520  nn0digval  48521  dignn0fr  48522  dig2nn1st  48526  digexp  48528  2sphere  48670  itsclc0  48692  itsclc0b  48693