Theorem elrege0 13368

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11132	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13359	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℝcr 11023  0cc0 11024  +∞cpnf 11161   ≤ cle 11165  [,)cico 13261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-addrcl 11085  ax-rnegex 11095  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-ico 13265

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13369  rge0ssre  13370  0e0icopnf  13372  ge0addcl  13374  ge0mulcl  13375  fsumge0  15716  fprodge0  15914  isabvd  20743  abvge0  20748  nmolb  24659  nmoge0  24663  nmoi  24670  icopnfcnv  24894  cphsqrtcl  25138  tcphcph  25191  cphsscph  25205  ovolfsf  25426  ovolmge0  25432  ovolunlem1a  25451  ovoliunlem1  25457  ovolicc2lem4  25475  ioombl1lem4  25516  uniioombllem2  25538  uniioombllem6  25543  0plef  25627  i1fpos  25661  mbfi1fseqlem1  25670  mbfi1fseqlem3  25672  mbfi1fseqlem4  25673  mbfi1fseqlem5  25674  mbfi1fseqlem6  25675  mbfi1flimlem  25677  itg2const  25695  itg2const2  25696  itg2mulclem  25701  itg2mulc  25702  itg2monolem1  25705  itg2mono  25708  itg2addlem  25713  itg2gt0  25715  itg2cnlem1  25716  itg2cnlem2  25717  itg2cn  25718  iblconst  25773  itgconst  25774  ibladdlem  25775  itgaddlem1  25778  iblabslem  25783  iblabs  25784  iblmulc2  25786  itgmulc2lem1  25787  bddmulibl  25794  bddiblnc  25797  itggt0  25799  itgcn  25800  dvge0  25965  dvle  25966  dvfsumrlim  25992  cxpcn3lem  26711  cxpcn3  26712  resqrtcn  26713  loglesqrt  26725  areaf  26925  areacl  26926  areage0  26927  rlimcnp3  26931  jensenlem2  26952  jensen  26953  amgmlem  26954  amgm  26955  dchrisumlem3  27456  dchrmusumlema  27458  dchrmusum2  27459  dchrvmasumlem2  27463  dchrvmasumiflem1  27466  dchrisum0lema  27479  dchrisum0lem1b  27480  dchrisum0lem1  27481  dchrisum0lem2  27483  axcontlem2  28987  axcontlem7  28992  axcontlem8  28993  axcontlem10  28995  rge0scvg  34055  esumpcvgval  34184  hasheuni  34191  esumcvg  34192  sibfof  34446  mbfposadd  37807  itg2addnclem2  37812  itg2addnclem3  37813  itg2addnc  37814  itg2gt0cn  37815  ibladdnclem  37816  itgaddnclem1  37818  iblabsnclem  37823  iblabsnc  37824  iblmulc2nc  37825  itgmulc2nclem1  37826  itggt0cn  37830  ftc1anclem3  37835  ftc1anclem4  37836  ftc1anclem5  37837  ftc1anclem6  37838  ftc1anclem7  37839  ftc1anclem8  37840  areacirclem2  37849  sge0iunmptlemfi  46599  digvalnn0  48787  nn0digval  48788  dignn0fr  48789  dig2nn1st  48793  digexp  48795  2sphere  48937  itsclc0  48959  itsclc0b  48960