Theorem elrege0 13585

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11310	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13576	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  +∞cpnf 11340   ≤ cle 11344  [,)cico 13478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-ico 13482

This theorem is used by:  nn0rp0  13586  rge0ssre  13587  0e0icopnf  13589  ge0addcl  13591  ge0mulcl  13592  fsumge0  15962  fprodge0  16160  isabvd  21069  abvge0  21074  nmolb  25036  nmoge0  25040  nmoi  25047  icopnfcnv  25263  cphsqrtcl  25505  tcphcph  25558  cphsscph  25572  ovolfsf  25792  ovolmge0  25798  ovolunlem1a  25817  ovoliunlem1  25823  ovolicc2lem4  25841  ioombl1lem4  25882  uniioombllem2  25904  uniioombllem6  25909  0plef  25993  i1fpos  26027  mbfi1fseqlem1  26036  mbfi1fseqlem3  26038  mbfi1fseqlem4  26039  mbfi1fseqlem5  26040  mbfi1fseqlem6  26041  mbfi1flimlem  26043  itg2const  26061  itg2const2  26062  itg2mulclem  26067  itg2mulc  26068  itg2monolem1  26071  itg2mono  26074  itg2addlem  26079  itg2gt0  26081  itg2cnlem1  26082  itg2cnlem2  26083  itg2cn  26084  iblconst  26138  itgconst  26139  ibladdlem  26140  itgaddlem1  26143  iblabslem  26148  iblabs  26149  iblmulc2  26151  itgmulc2lem1  26152  bddmulibl  26159  bddiblnc  26162  itggt0  26164  itgcn  26165  dvge0  26326  dvle  26327  dvfsumrlim  26351  cxpcn3lem  27075  cxpcn3  27076  resqrtcn  27077  loglesqrt  27089  areaf  27289  areacl  27290  areage0  27291  rlimcnp3  27295  jensenlem2  27315  jensen  27316  amgmlem  27317  amgm  27318  dchrisumlem3  27818  dchrmusumlema  27820  dchrmusum2  27821  dchrvmasumlem2  27825  dchrvmasumiflem1  27828  dchrisum0lema  27841  dchrisum0lem1b  27842  dchrisum0lem1  27843  dchrisum0lem2  27845  axcontlem2  29543  axcontlem7  29548  axcontlem8  29549  axcontlem10  29551  rge0scvg  34581  esumpcvgval  34710  hasheuni  34717  esumcvg  34718  sibfof  34972  mbfposadd  38585  itg2addnclem2  38590  itg2addnclem3  38591  itg2addnc  38592  itg2gt0cn  38593  ibladdnclem  38594  itgaddnclem1  38596  iblabsnclem  38601  iblabsnc  38602  iblmulc2nc  38603  itgmulc2nclem1  38604  itggt0cn  38608  ftc1anclem3  38613  ftc1anclem4  38614  ftc1anclem5  38615  ftc1anclem6  38616  ftc1anclem7  38617  ftc1anclem8  38618  areacirclem2  38627  sge0iunmptlemfi  47422  digvalnn0  49710  nn0digval  49711  dignn0fr  49712  dig2nn1st  49716  digexp  49718  2sphere  49860  itsclc0  49882  itsclc0b  49883