Theorem elrege0 13370

Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elrege0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem elrege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11134	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		elicopnf 13361	. 2 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  +∞cpnf 11163   ≤ cle 11167  [,)cico 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ico 13267

This theorem is referenced by:  nn0rp0  13371  rge0ssre  13372  0e0icopnf  13374  ge0addcl  13376  ge0mulcl  13377  fsumge0  15718  fprodge0  15916  isabvd  20745  abvge0  20750  nmolb  24661  nmoge0  24665  nmoi  24672  icopnfcnv  24896  cphsqrtcl  25140  tcphcph  25193  cphsscph  25207  ovolfsf  25428  ovolmge0  25434  ovolunlem1a  25453  ovoliunlem1  25459  ovolicc2lem4  25477  ioombl1lem4  25518  uniioombllem2  25540  uniioombllem6  25545  0plef  25629  i1fpos  25663  mbfi1fseqlem1  25672  mbfi1fseqlem3  25674  mbfi1fseqlem4  25675  mbfi1fseqlem5  25676  mbfi1fseqlem6  25677  mbfi1flimlem  25679  itg2const  25697  itg2const2  25698  itg2mulclem  25703  itg2mulc  25704  itg2monolem1  25707  itg2mono  25710  itg2addlem  25715  itg2gt0  25717  itg2cnlem1  25718  itg2cnlem2  25719  itg2cn  25720  iblconst  25775  itgconst  25776  ibladdlem  25777  itgaddlem1  25780  iblabslem  25785  iblabs  25786  iblmulc2  25788  itgmulc2lem1  25789  bddmulibl  25796  bddiblnc  25799  itggt0  25801  itgcn  25802  dvge0  25967  dvle  25968  dvfsumrlim  25994  cxpcn3lem  26713  cxpcn3  26714  resqrtcn  26715  loglesqrt  26727  areaf  26927  areacl  26928  areage0  26929  rlimcnp3  26933  jensenlem2  26954  jensen  26955  amgmlem  26956  amgm  26957  dchrisumlem3  27458  dchrmusumlema  27460  dchrmusum2  27461  dchrvmasumlem2  27465  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0lema  27481  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2  27485  axcontlem2  29038  axcontlem7  29043  axcontlem8  29044  axcontlem10  29046  rge0scvg  34106  esumpcvgval  34235  hasheuni  34242  esumcvg  34243  sibfof  34497  mbfposadd  37868  itg2addnclem2  37873  itg2addnclem3  37874  itg2addnc  37875  itg2gt0cn  37876  ibladdnclem  37877  itgaddnclem1  37879  iblabsnclem  37884  iblabsnc  37885  iblmulc2nc  37886  itgmulc2nclem1  37887  itggt0cn  37891  ftc1anclem3  37896  ftc1anclem4  37897  ftc1anclem5  37898  ftc1anclem6  37899  ftc1anclem7  37900  ftc1anclem8  37901  areacirclem2  37910  sge0iunmptlemfi  46657  digvalnn0  48845  nn0digval  48846  dignn0fr  48847  dig2nn1st  48851  digexp  48853  2sphere  48995  itsclc0  49017  itsclc0b  49018