Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atex 38780
Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
atex.1 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atex (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)

Proof of Theorem atex
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atex.1 . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
21hl2at 38779 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž)
3 df-rex 3063 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž ↔ βˆƒπ‘(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž))
4 exsimpl 1863 . . . 4 (βˆƒπ‘(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝐴)
53, 4sylbi 216 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝐴)
62, 5syl 17 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝐴)
7 n0 4339 . 2 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝐴)
86, 7sylibr 233 1 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062  βˆ…c0 4315  β€˜cfv 6534  Atomscatm 38636  HLchlt 38723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724
This theorem is referenced by:  llnn0  38890  lplnn0N  38921  lvoln0N  38965
  Copyright terms: Public domain W3C validator