Theorem atex 39389

Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
atex.1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atex	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem atex

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atex.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2	1	hl2at 39388	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
3		df-rex 3069	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
4		exsimpl 1866	. . . 4 ⊢ (∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
5	3, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
7		n0 4359	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  Atomscatm 39245  HLchlt 39332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333

This theorem is referenced by:  llnn0  39499  lplnn0N  39530  lvoln0N  39574