Theorem atex 39515

Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
atex.1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atex	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem atex

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atex.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2	1	hl2at 39514	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
3		df-rex 3057	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
4		exsimpl 1869	. . . 4 ⊢ (∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
5	3, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
7		n0 4300	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 234	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ∅c0 4280  ‘cfv 6481  Atomscatm 39372  HLchlt 39459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460

This theorem is referenced by:  llnn0  39625  lplnn0N  39656  lvoln0N  39700