Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atex 38265
Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
atex.1 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atex (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)

Proof of Theorem atex
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atex.1 . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
21hl2at 38264 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž)
3 df-rex 3071 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž ↔ βˆƒπ‘(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž))
4 exsimpl 1871 . . . 4 (βˆƒπ‘(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž) β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝐴)
53, 4sylbi 216 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 𝑝 β‰  π‘ž β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝐴)
62, 5syl 17 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝐴)
7 n0 4345 . 2 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ 𝐴)
86, 7sylibr 233 1 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4321  β€˜cfv 6540  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  llnn0  38375  lplnn0N  38406  lvoln0N  38450
  Copyright terms: Public domain W3C validator