Theorem atex 36546

Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
atex.1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atex	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem atex

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atex.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2	1	hl2at 36545	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
3		df-rex 3147	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
4		exsimpl 1868	. . . 4 ⊢ (∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
5	3, 4	sylbi 219	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
7		n0 4313	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 236	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∃wrex 3142  ∅c0 4294  ‘cfv 6358  Atomscatm 36403  HLchlt 36490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-proset 17541  df-poset 17559  df-plt 17571  df-lub 17587  df-glb 17588  df-join 17589  df-meet 17590  df-p0 17652  df-p1 17653  df-lat 17659  df-clat 17721  df-oposet 36316  df-ol 36318  df-oml 36319  df-covers 36406  df-ats 36407  df-atl 36438  df-cvlat 36462  df-hlat 36491

This theorem is referenced by:  llnn0  36656  lplnn0N  36687  lvoln0N  36731