Theorem atex 37347

Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
atex.1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atex	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem atex

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atex.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2	1	hl2at 37346	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
3		df-rex 3069	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
4		exsimpl 1872	. . . 4 ⊢ (∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
5	3, 4	sylbi 216	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
7		n0 4277	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 233	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  Atomscatm 37204  HLchlt 37291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292

This theorem is referenced by:  llnn0  37457  lplnn0N  37488  lvoln0N  37532