Theorem atex 40240

Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
atex.1	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atex	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem atex

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atex.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2	1	hl2at 40239	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
3		df-rex 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 ↔ ∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
4		exsimpl 1901	. . . 4 ⊢ (∃𝑝(𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞) → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
5	3, 4	sylbi 220	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞 → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
7		n0 4307	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sylibr 237	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  Atomscatm 40097  HLchlt 40184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185

This theorem is used by:  llnn0  40350  lplnn0N  40381  lvoln0N  40425