Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atex 36024
Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
atex.1 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atex (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem atex
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atex.1 . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21hl2at 36023 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
3 df-rex 3087 . . . 4 (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞 ↔ ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝐴 𝑝𝑞))
4 exsimpl 1832 . . . 4 (∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝐴 𝑝𝑞) → ∃𝑝 𝑝𝐴)
53, 4sylbi 209 . . 3 (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞 → ∃𝑝 𝑝𝐴)
62, 5syl 17 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝𝐴)
7 n0 4190 . 2 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝𝐴)
86, 7sylibr 226 1 (𝐾 ∈ HL → 𝐴 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wex 1743  wcel 2051  wne 2960  wrex 3082  c0 4172  cfv 6185  Atomscatm 35881  HLchlt 35968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35794  df-ol 35796  df-oml 35797  df-covers 35884  df-ats 35885  df-atl 35916  df-cvlat 35940  df-hlat 35969
This theorem is referenced by:  llnn0  36134  lplnn0N  36165  lvoln0N  36209
  Copyright terms: Public domain W3C validator