Theorem lvoln0N 40757

Description: A lattice volume is nonzero. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvoln0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lvoln0.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoln0N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lvoln0N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2	1	atex 40572	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3		n0 4299	. . . 4 ⊢ ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
4	2, 3	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		lvoln0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
8	6, 1, 7	lvolnleat 40749	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
9	8	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10		hlop 40528	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 1	atbase 40455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15		lvoln0.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16	12, 6, 15	op0le 40352	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
17	11, 14, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝 ↔ 0 (le‘𝐾)𝑝))
19	17, 18	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0 → 𝑋(le‘𝐾)𝑝))
20	19	necon3bd 2969	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝 → 𝑋 ≠ 0 ))
21	9, 20	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ≠ 0 )
22	5, 21	exlimddv 1967	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  lecple 17444  0.cp0 18604  OPcops 40338  Atomscatm 40429  HLchlt 40516  LVolsclvol 40659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-clat 18682  df-oposet 40342  df-ol 40344  df-oml 40345  df-covers 40432  df-ats 40433  df-atl 40464  df-cvlat 40488  df-hlat 40517  df-llines 40664  df-lplanes 40665  df-lvols 40666

This theorem is used by: (None)