Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoln0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvoln0N 38974
Description: A lattice volume is nonzero. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoln0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
lvoln0.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lvoln0N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 β‰  0 )

Proof of Theorem lvoln0N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
21atex 38789 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (Atomsβ€˜πΎ) β‰  βˆ…)
3 n0 4341 . . . 4 ((Atomsβ€˜πΎ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
42, 3sylib 217 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
6 eqid 2726 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 lvoln0.v . . . . 5 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
86, 1, 7lvolnleat 38966 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝)
983expa 1115 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝)
10 hlop 38744 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1312, 1atbase 38671 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 lvoln0.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
1612, 6, 15op0le 38568 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝)
18 breq1 5144 . . . . 5 (𝑋 = 0 β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝 ↔ 0 (leβ€˜πΎ)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 = 0 β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝))
2019necon3bd 2948 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑝 β†’ 𝑋 β‰  0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 β‰  0 )
225, 21exlimddv 1930 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  lecple 17210  0.cp0 18385  OPcops 38554  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LVolsclvol 38876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator