Theorem lvoln0N 39638

Description: A lattice volume is nonzero. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvoln0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lvoln0.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoln0N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lvoln0N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2	1	atex 39453	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3		n0 4300	. . . 4 ⊢ ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		lvoln0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
8	6, 1, 7	lvolnleat 39630	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
9	8	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10		hlop 39409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 1	atbase 39336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15		lvoln0.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16	12, 6, 15	op0le 39233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
17	11, 14, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18		breq1 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝 ↔ 0 (le‘𝐾)𝑝))
19	17, 18	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0 → 𝑋(le‘𝐾)𝑝))
20	19	necon3bd 2942	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝 → 𝑋 ≠ 0 ))
21	9, 20	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ≠ 0 )
22	5, 21	exlimddv 1936	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  lecple 17168  0.cp0 18327  OPcops 39219  Atomscatm 39310  HLchlt 39397  LVolsclvol 39540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39223  df-ol 39225  df-oml 39226  df-covers 39313  df-ats 39314  df-atl 39345  df-cvlat 39369  df-hlat 39398  df-llines 39545  df-lplanes 39546  df-lvols 39547

This theorem is referenced by: (None)