Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoln0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvoln0N 37342
Description: A lattice volume is nonzero. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoln0.z 0 = (0.‘𝐾)
lvoln0.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lvoln0N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋0 )

Proof of Theorem lvoln0N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21atex 37157 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3 n0 4261 . . . 4 ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
42, 3sylib 221 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
54adantr 484 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6 eqid 2737 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 lvoln0.v . . . . 5 𝑉 = (LVols‘𝐾)
86, 1, 7lvolnleat 37334 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
983expa 1120 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10 hlop 37113 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 1atbase 37040 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1413adantl 485 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15 lvoln0.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
1612, 6, 15op0le 36937 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18 breq1 5056 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝0 (le‘𝐾)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0𝑋(le‘𝐾)𝑝))
2019necon3bd 2954 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝𝑋0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋0 )
225, 21exlimddv 1943 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  wne 2940  c0 4237   class class class wbr 5053  cfv 6380  Basecbs 16760  lecple 16809  0.cp0 17929  OPcops 36923  Atomscatm 37014  HLchlt 37101  LVolsclvol 37244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator