Theorem lvoln0N 40365

Description: A lattice volume is nonzero. (Contributed by NM, 17-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvoln0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lvoln0.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lvoln0N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lvoln0N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2	1	atex 40180	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3		n0 4307	. . . 4 ⊢ ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
4	2, 3	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		lvoln0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
8	6, 1, 7	lvolnleat 40357	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
9	8	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10		hlop 40136	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11	10	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 1	atbase 40063	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
14	13	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15		lvoln0.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16	12, 6, 15	op0le 39960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
17	11, 14, 16	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18		breq1 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝 ↔ 0 (le‘𝐾)𝑝))
19	17, 18	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0 → 𝑋(le‘𝐾)𝑝))
20	19	necon3bd 2972	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝 → 𝑋 ≠ 0 ))
21	9, 20	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ≠ 0 )
22	5, 21	exlimddv 1965	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  lecple 17312  0.cp0 18472  OPcops 39946  Atomscatm 40037  HLchlt 40124  LVolsclvol 40267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-llines 40272  df-lplanes 40273  df-lvols 40274

This theorem is referenced by: (None)