Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnn0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnn0N 39015
Description: A lattice plane is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnn0.z 0 = (0.‘𝐾)
lplnn0.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnn0N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋0 )

Proof of Theorem lplnn0N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21atex 38874 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3 n0 4343 . . . 4 ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
42, 3sylib 217 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6 eqid 2728 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 lplnn0.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
86, 1, 7lplnnleat 39010 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
983expa 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10 hlop 38829 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 1atbase 38756 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15 lplnn0.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
1612, 6, 15op0le 38653 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18 breq1 5146 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝0 (le‘𝐾)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 246 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0𝑋(le‘𝐾)𝑝))
2019necon3bd 2950 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝𝑋0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋0 )
225, 21exlimddv 1931 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2936  c0 4319   class class class wbr 5143  cfv 6543  Basecbs 17174  lecple 17234  0.cp0 18409  OPcops 38639  Atomscatm 38730  HLchlt 38817  LPlanesclpl 38960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38643  df-ol 38645  df-oml 38646  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765  df-cvlat 38789  df-hlat 38818  df-llines 38966  df-lplanes 38967
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator