Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnn0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnn0N 35617
 Description: A lattice plane is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnn0.z 0 = (0.‘𝐾)
lplnn0.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnn0N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋0 )

Proof of Theorem lplnn0N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21atex 35476 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3 n0 4162 . . . 4 ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
42, 3sylib 210 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
54adantr 474 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6 eqid 2825 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 lplnn0.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
86, 1, 7lplnnleat 35612 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
983expa 1151 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10 hlop 35432 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2825 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 1atbase 35359 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1413adantl 475 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15 lplnn0.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
1612, 6, 15op0le 35256 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18 breq1 4878 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝0 (le‘𝐾)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0𝑋(le‘𝐾)𝑝))
2019necon3bd 3013 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝𝑋0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋0 )
225, 21exlimddv 2034 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∅c0 4146   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  lecple 16319  0.cp0 17397  OPcops 35242  Atomscatm 35333  HLchlt 35420  LPlanesclpl 35562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-llines 35568  df-lplanes 35569 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator