Theorem lplnn0N 39015

Description: A lattice plane is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnn0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lplnn0.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnn0N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lplnn0N

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
2	1	atex 38874	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3		n0 4343	. . . 4 ⊢ ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
4	2, 3	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		lplnn0.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8	6, 1, 7	lplnnleat 39010	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
9	8	3expa 1116	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10		hlop 38829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
11	10	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
13	12, 1	atbase 38756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15		lplnn0.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16	12, 6, 15	op0le 38653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
17	11, 14, 16	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18		breq1 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝 ↔ 0 (le‘𝐾)𝑝))
19	17, 18	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0 → 𝑋(le‘𝐾)𝑝))
20	19	necon3bd 2950	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝 → 𝑋 ≠ 0 ))
21	9, 20	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ≠ 0 )
22	5, 21	exlimddv 1931	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∅c0 4319   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  Basecbs 17174  lecple 17234  0.cp0 18409  OPcops 38639  Atomscatm 38730  HLchlt 38817  LPlanesclpl 38960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38643  df-ol 38645  df-oml 38646  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765  df-cvlat 38789  df-hlat 38818  df-llines 38966  df-lplanes 38967

This theorem is referenced by: (None)