Theorem atlt 37832

Description: Two atoms are unequal iff their join is greater than one of them. (Contributed by NM, 6-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atlt.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Proof of Theorem atlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		atlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
5		atlt.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		atlt.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	atltcvr 37830	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
9	1, 2, 2, 3, 8	syl13anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
10	5, 7, 6	atcvr1 37812	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
11	9, 10	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2942   class class class wbr 5104  ‘cfv 6494  (class class class)co 7352  ltcplt 18157  joincjn 18160   ⋖ ccvr 37656  Atomscatm 37657  HLchlt 37744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-lat 18281  df-clat 18348  df-oposet 37570  df-ol 37572  df-oml 37573  df-covers 37660  df-ats 37661  df-atl 37692  df-cvlat 37716  df-hlat 37745

This theorem is referenced by:  atlelt  37833  2atlt  37834