Theorem atlt 40494

Description: Two atoms are unequal iff their join is greater than one of them. (Contributed by NM, 6-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
atlt.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atlt.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlt	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

Proof of Theorem atlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		atlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
5		atlt.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		atlt.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	atltcvr 40492	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
9	1, 2, 2, 3, 8	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
10	5, 7, 6	atcvr1 40474	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃( ⋖ ‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
11	9, 10	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ltcplt 18482  joincjn 18485   ⋖ ccvr 40319  Atomscatm 40320  HLchlt 40407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408

This theorem is used by:  atlelt  40495  2atlt  40496