Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlt 38308
Description: Two atoms are unequal iff their join is greater than one of them. (Contributed by NM, 6-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlt.s < = (ltβ€˜πΎ)
atlt.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atlt.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atlt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 β‰  𝑄))

Proof of Theorem atlt
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp3 1139 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4 atlt.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
5 atlt.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 atlt.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 eqid 2733 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
84, 5, 6, 7atltcvr 38306 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
91, 2, 2, 3, 8syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
105, 7, 6atcvr1 38288 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ 𝑃( β‹– β€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
119, 10bitr4d 282 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 < (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑃 β‰  𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  ltcplt 18261  joincjn 18264   β‹– ccvr 38132  Atomscatm 38133  HLchlt 38220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221
This theorem is referenced by:  atlelt  38309  2atlt  38310
  Copyright terms: Public domain W3C validator