Theorem atnem0 40192

Description: The meet of distinct atoms is zero. (atnemeq0 32859 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnem0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atnem0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atnem0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnem0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) = 0 ))

Proof of Theorem atnem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		atnem0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atncmp 40186	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	4, 2	atbase 40163	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		atnem0.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7		atnem0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
8	4, 1, 6, 7, 2	atnle 40191	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) = 0 ))
9	5, 8	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) = 0 ))
10	3, 9	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  lecple 17350  meetcmee 18401  0.cp0 18510  Atomscatm 40137  AtLatcal 40138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-lat 18521  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172

This theorem is used by:  cvlatcvr1  40215  atcvrj1  40305  dalem24  40571  lhp2at0  40906  trlval3  41061  cdleme0e  41091  cdleme7c  41119