Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atnem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atnem0 35467
Description: The meet of distinct atoms is zero. (atnemeq0 29808 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atnem0.m = (meet‘𝐾)
atnem0.z 0 = (0.‘𝐾)
atnem0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atnem0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ (𝑃 𝑄) = 0 ))

Proof of Theorem atnem0
StepHypRef Expression
1 eqid 2777 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 atnem0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
31, 2atncmp 35461 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄𝑃𝑄))
4 eqid 2777 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
54, 2atbase 35438 . . 3 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6 atnem0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
7 atnem0.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
84, 1, 6, 7, 2atnle 35466 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ (𝑃 𝑄) = 0 ))
95, 8syl3an3 1166 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ (𝑃 𝑄) = 0 ))
103, 9bitr3d 273 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ (𝑃 𝑄) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  meetcmee 17331  0.cp0 17423  Atomscatm 35412  AtLatcal 35413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-lat 17432  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447
This theorem is referenced by:  cvlatcvr1  35490  atcvrj1  35580  dalem24  35846  lhp2at0  36181  trlval3  36336  cdleme0e  36366  cdleme7c  36394
  Copyright terms: Public domain W3C validator