Theorem atnem0 40152

Description: The meet of distinct atoms is zero. (atnemeq0 32802 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnem0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atnem0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atnem0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnem0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) = 0 ))

Proof of Theorem atnem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		atnem0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atncmp 40146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	4, 2	atbase 40123	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		atnem0.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7		atnem0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
8	4, 1, 6, 7, 2	atnle 40151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) = 0 ))
9	5, 8	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑄 ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) = 0 ))
10	3, 9	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  lecple 17341  meetcmee 18392  0.cp0 18501  Atomscatm 40097  AtLatcal 40098

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-lat 18512  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132

This theorem is used by:  cvlatcvr1  40175  atcvrj1  40265  dalem24  40531  lhp2at0  40866  trlval3  41021  cdleme0e  41051  cdleme7c  41079