Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexatN 36722
Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexat.l = (le‘𝐾)
llnexat.j = (join‘𝐾)
llnexat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem llnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑋𝑁)
41, 2, 33jca 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁))
5 llnexat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 eqid 2824 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7 llnexat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 llnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 6, 7, 8atcvrlln2 36720 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
104, 9sylan 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
13 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 7atbase 36490 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝑁)
1713, 8llnbase 36710 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19 llnexat.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2013, 5, 19, 6, 7cvrval3 36614 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
2111, 15, 18, 20syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
22 simpll1 1209 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlatl 36561 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
25 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
26 simpll3 1211 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑃𝐴)
275, 7atncmp 36513 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → (¬ 𝑞 𝑃𝑞𝑃))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 𝑃𝑞𝑃))
2928anbi1d 632 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑞𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
30 necom 3066 . . . . . 6 (𝑞𝑃𝑃𝑞)
31 eqcom 2831 . . . . . 6 ((𝑃 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑃 𝑞))
3230, 31anbi12i 629 . . . . 5 ((𝑞𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
3329, 32syl6bb 290 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3433rexbidva 3288 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3521, 34bitrd 282 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3610, 35mpbid 235 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133   class class class wbr 5049  cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  joincjn 17545  ccvr 36463  Atomscatm 36464  AtLatcal 36465  HLchlt 36551  LLinesclln 36692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4822  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-id 5443  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36377  df-ol 36379  df-oml 36380  df-covers 36467  df-ats 36468  df-atl 36499  df-cvlat 36523  df-hlat 36552  df-llines 36699
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  36765
  Copyright terms: Public domain W3C validator