Theorem llnexatN 39522

Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
llnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑞)

Proof of Theorem llnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁))
5		llnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		llnexat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		llnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	atcvrlln2 39520	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	atbase 39289	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
17	13, 8	llnbase 39510	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		llnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	13, 5, 19, 6, 7	cvrval3 39414	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
21	11, 15, 18, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22		simpll1 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlatl 39360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
26		simpll3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
27	5, 7	atncmp 39312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
29	28	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
30		necom 2979	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
31		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))
32	30, 31	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))
33	29, 32	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
34	33	rexbidva 3156	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
35	21, 34	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
36	10, 35	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  lecple 17234  joincjn 18279   ⋖ ccvr 39262  Atomscatm 39263  AtLatcal 39264  HLchlt 39350  LLinesclln 39492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  39565