Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1136 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
2 | | simp3 1138 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β π β π΄) |
3 | | simp2 1137 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β π β π) |
4 | 1, 2, 3 | 3jca 1128 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π)) |
5 | | llnexat.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’ ( β
βπΎ) = ( β
βπΎ) |
7 | | llnexat.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | llnexat.n |
. . . 4
β’ π = (LLinesβπΎ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | atcvrlln2 38378 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π) β§ π β€ π) β π( β βπΎ)π) |
10 | 4, 9 | sylan 580 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β π( β βπΎ)π) |
11 | | simpl1 1191 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β πΎ β HL) |
12 | | simpl3 1193 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β π β π΄) |
13 | | eqid 2732 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
14 | 13, 7 | atbase 38147 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 12, 14 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β π β (BaseβπΎ)) |
16 | | simpl2 1192 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β π β π) |
17 | 13, 8 | llnbase 38368 |
. . . . 5
β’ (π β π β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | | llnexat.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
20 | 13, 5, 19, 6, 7 | cvrval3 38272 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π( β βπΎ)π β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = π))) |
21 | 11, 15, 18, 20 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β (π( β βπΎ)π β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = π))) |
22 | | simpll1 1212 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
23 | | hlatl 38218 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β§ π β π΄) β πΎ β AtLat) |
25 | | simpr 485 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β§ π β π΄) β π β π΄) |
26 | | simpll3 1214 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β§ π β π΄) β π β π΄) |
27 | 5, 7 | atncmp 38170 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (Β¬ π β€ π β π β π)) |
28 | 24, 25, 26, 27 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β§ π β π΄) β (Β¬ π β€ π β π β π)) |
29 | 28 | anbi1d 630 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β§ π β π΄) β ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = π) β (π β π β§ (π β¨ π) = π))) |
30 | | necom 2994 |
. . . . . 6
β’ (π β π β π β π) |
31 | | eqcom 2739 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π) = π β π = (π β¨ π)) |
32 | 30, 31 | anbi12i 627 |
. . . . 5
β’ ((π β π β§ (π β¨ π) = π) β (π β π β§ π = (π β¨ π))) |
33 | 29, 32 | bitrdi 286 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β§ π β π΄) β ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = π) β (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
34 | 33 | rexbidva 3176 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = π) β βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
35 | 21, 34 | bitrd 278 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β (π( β βπΎ)π β βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π)))) |
36 | 10, 35 | mpbid 231 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π β§ π β π΄) β§ π β€ π) β βπ β π΄ (π β π β§ π = (π β¨ π))) |