Theorem llnexatN 39978

Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
llnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑞)

Proof of Theorem llnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁))
5		llnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		llnexat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		llnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	atcvrlln2 39976	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 581	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	atbase 39746	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
17	13, 8	llnbase 39966	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		llnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	13, 5, 19, 6, 7	cvrval3 39870	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
21	11, 15, 18, 20	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22		simpll1 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlatl 39817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
26		simpll3 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
27	5, 7	atncmp 39769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
29	28	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
30		necom 2986	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
31		eqcom 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))
32	30, 31	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))
33	29, 32	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
34	33	rexbidva 3160	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
35	21, 34	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
36	10, 35	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  lecple 17216  joincjn 18266   ⋖ ccvr 39719  Atomscatm 39720  AtLatcal 39721  HLchlt 39807  LLinesclln 39948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808  df-llines 39955

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  40021