Theorem llnexatN 39034

Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
llnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑞)

Proof of Theorem llnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1125	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁))
5		llnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		llnexat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		llnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	atcvrlln2 39032	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 578	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	atbase 38801	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
17	13, 8	llnbase 39022	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		llnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	13, 5, 19, 6, 7	cvrval3 38926	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
21	11, 15, 18, 20	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22		simpll1 1209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlatl 38872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
25		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
26		simpll3 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
27	5, 7	atncmp 38824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
29	28	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
30		necom 2991	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
31		eqcom 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))
32	30, 31	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))
33	29, 32	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
34	33	rexbidva 3174	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
35	21, 34	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
36	10, 35	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  lecple 17249  joincjn 18312   ⋖ ccvr 38774  Atomscatm 38775  AtLatcal 38776  HLchlt 38862  LLinesclln 39004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  39077