Theorem llnexatN 40327

Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
llnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑞)

Proof of Theorem llnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁))
5		llnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		llnexat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		llnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	atcvrlln2 40325	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	atbase 40095	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
17	13, 8	llnbase 40315	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		llnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	13, 5, 19, 6, 7	cvrval3 40219	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
21	11, 15, 18, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlatl 40166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
25		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
26		simpll3 1233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
27	5, 7	atncmp 40118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
29	28	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
30		necom 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
31		eqcom 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))
32	30, 31	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))
33	29, 32	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
34	33	rexbidva 3190	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
35	21, 34	bitrd 282	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
36	10, 35	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   class class class wbr 5112  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17279  lecple 17327  joincjn 18377   ⋖ ccvr 40068  Atomscatm 40069  AtLatcal 40070  HLchlt 40156  LLinesclln 40297

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18360  df-poset 18379  df-plt 18394  df-lub 18410  df-glb 18411  df-join 18412  df-meet 18413  df-p0 18489  df-lat 18498  df-clat 18565  df-oposet 39982  df-ol 39984  df-oml 39985  df-covers 40072  df-ats 40073  df-atl 40104  df-cvlat 40128  df-hlat 40157  df-llines 40304

This theorem is used by:  lplnexllnN  40370