Theorem llnexatN 37984

Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnexat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnexat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
llnexat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnexatN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ≤ ,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑞)

Proof of Theorem llnexatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁))
5		llnexat.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7		llnexat.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		llnexat.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	atcvrlln2 37982	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
10	4, 9	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14	13, 7	atbase 37751	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑁)
17	13, 8	llnbase 37972	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19		llnexat.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
20	13, 5, 19, 6, 7	cvrval3 37876	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
21	11, 15, 18, 20	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
22		simpll1 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
23		hlatl 37822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
25		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
26		simpll3 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
27	5, 7	atncmp 37774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃))
29	28	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋)))
30		necom 2997	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞)
31		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))
32	30, 31	anbi12i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝑞 ≠ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))
33	29, 32	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
34	33	rexbidva 3173	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞 ≤ 𝑃 ∧ (𝑃 ∨ 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
35	21, 34	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞))))
36	10, 35	mpbid 231	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑃 ∨ 𝑞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200   ⋖ ccvr 37724  Atomscatm 37725  AtLatcal 37726  HLchlt 37812  LLinesclln 37954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  38027