Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim2 36082
Description: Construct 2 new layers on top of 2 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝐴   ,𝑟,𝑠   ,𝑟,𝑠   𝑃,𝑟,𝑠   𝑄,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem 3dim2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim1 36081 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
543adant2 1112 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
6 simpl21 1232 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑢𝐴)
7 simpl22 1233 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑣𝐴)
8 simp31 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑄𝑢)
98necomd 3017 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝑄)
109adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑢𝑄)
11 oveq1 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
12 simp11 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp13 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑄𝐴)
141, 3hlatjidm 35983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1512, 13, 14syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1611, 15sylan9eqr 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
1716breq2d 4938 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢 𝑄))
1817notbid 310 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑢 𝑄))
19 hlatl 35974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝐾 ∈ AtLat)
21 simp21 1187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝐴)
222, 3atncmp 35926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑢𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2320, 21, 13, 22syl3anc 1352 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2423adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2518, 24bitrd 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢𝑄))
2610, 25mpbird 249 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄))
27 simpl32 1236 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))
2816oveq1d 6990 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑢) = (𝑄 𝑢))
2928breq2d 4938 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑢)))
3027, 29mtbird 317 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))
31 breq1 4929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑢 → (𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3231notbid 310 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑢 → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
33 oveq2 6983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑢 → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = ((𝑃 𝑄) 𝑢))
3433breq2d 4938 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑢 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3534notbid 310 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑢 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3632, 35anbi12d 622 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑢 → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
37 breq1 4929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3837notbid 310 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3938anbi2d 620 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑣 → ((¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
4036, 39rspc2ev 3545 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐴𝑣𝐴 ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
416, 7, 26, 30, 40syl112anc 1355 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
42 simp22 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
43 simp23 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑤𝐴)
4442, 43jca 504 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑣𝐴𝑤𝐴))
4544ad2antrr 714 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑣𝐴𝑤𝐴))
46 simpll1 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
47 simp32 1191 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))
48 simp33 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
4921, 47, 483jca 1109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
5049ad2antrr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
51 simplr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → 𝑃𝑄)
52 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → 𝑃 (𝑄 𝑢))
531, 2, 33dimlem2 36073 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑢))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
5446, 50, 51, 52, 53syl112anc 1355 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
55 3simpc 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)) → (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
57 breq1 4929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑣 → (𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑣 (𝑃 𝑄)))
5857notbid 310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑣 → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄)))
59 oveq2 6983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑣 → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = ((𝑃 𝑄) 𝑣))
6059breq2d 4938 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6160notbid 310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6258, 61anbi12d 622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑣 → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ↔ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣))))
63 breq1 4929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6463notbid 310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6564anbi2d 620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑤 → ((¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)) ↔ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))))
6662, 65rspc2ev 3545 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝐴𝑤𝐴 ∧ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
67663expa 1099 . . . . . . . . . 10 (((𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6845, 56, 67syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6921, 43jca 504 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑤𝐴))
7069ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑢𝐴𝑤𝐴))
71 simp1 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
7221, 42jca 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
738, 48jca 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
7471, 72, 733jca 1109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))))
7574ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))))
76 simpllr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑄)
77 simplr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢))
78 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
791, 2, 33dimlem3 36075 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8075, 76, 77, 78, 79syl13anc 1353 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
81 3simpc 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
83 breq1 4929 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8483notbid 310 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8584anbi2d 620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑤 → ((¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
8636, 85rspc2ev 3545 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝐴𝑤𝐴 ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
87863expa 1099 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
8870, 82, 87syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
8972ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
908, 47jca 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢)))
9171, 72, 903jca 1109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))))
9291ad3antrrr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))))
93 simpllr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑄)
94 simplr 757 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢))
95 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
961, 2, 33dimlem4 36078 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
9792, 93, 94, 95, 96syl121anc 1356 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
98 3simpc 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
100403expa 1099 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10189, 99, 100syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10288, 101pm2.61dan 801 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10368, 102pm2.61dan 801 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10441, 103pm2.61dane 3050 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
1051043exp 1100 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))
1061053expd 1334 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))))
107106imp32 411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑤𝐴 → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))
108107rexlimdv 3223 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (∃𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))))
109108rexlimdvva 3234 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))))
1105, 109mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2962  wrex 3084   class class class wbr 4926  cfv 6186  (class class class)co 6975  lecple 16427  joincjn 17425  Atomscatm 35877  AtLatcal 35878  HLchlt 35964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-proset 17409  df-poset 17427  df-plt 17439  df-lub 17455  df-glb 17456  df-join 17457  df-meet 17458  df-p0 17520  df-p1 17521  df-lat 17527  df-clat 17589  df-oposet 35790  df-ol 35792  df-oml 35793  df-covers 35880  df-ats 35881  df-atl 35912  df-cvlat 35936  df-hlat 35965
This theorem is referenced by:  3dim3  36083  lhp2lt  36615
  Copyright terms: Public domain W3C validator