Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3dim2 38941
Description: Construct 2 new layers on top of 2 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3dim0.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3dim0.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3dim2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   𝑠,π‘Ÿ,𝐴   ∨ ,π‘Ÿ,𝑠   ≀ ,π‘Ÿ,𝑠   𝑃,π‘Ÿ,𝑠   𝑄,π‘Ÿ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,π‘Ÿ)
Proof of Theorem 3dim2
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 3dim0.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 33dim1 38940 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
543adant2 1129 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
6 simpl21 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
7 simpl22 1250 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
8 simp31 1207 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑄 β‰  𝑒)
98necomd 2993 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑒 β‰  𝑄)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ 𝑒 β‰  𝑄)
11 oveq1 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
12 simp11 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 simp13 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
141, 3hlatjidm 38841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
1512, 13, 14syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
1611, 15sylan9eqr 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
1716breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑒 ≀ 𝑄))
1817notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ Β¬ 𝑒 ≀ 𝑄))
19 hlatl 38832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
21 simp21 1204 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑒 ∈ 𝐴)
222, 3atncmp 38784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ 𝑄 ↔ 𝑒 β‰  𝑄))
2320, 21, 13, 22syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ 𝑄 ↔ 𝑒 β‰  𝑄))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ 𝑄 ↔ 𝑒 β‰  𝑄))
2518, 24bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑒 β‰  𝑄))
2610, 25mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
27 simpl32 1253 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))
2816oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒) = (𝑄 ∨ 𝑒))
2928breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒) ↔ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)))
3027, 29mtbird 325 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))
31 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
3231notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
33 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))
3433breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
3534notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
3632, 35anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = 𝑒 β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))))
37 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑣 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒) ↔ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
3837notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑣 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒) ↔ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
3938anbi2d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑣 β†’ ((Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)) ↔ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))))
4036, 39rspc2ev 3622 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
416, 7, 26, 30, 40syl112anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
42 simp22 1205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
43 simp23 1206 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐴)
4442, 43jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
46 simpll1 1210 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
47 simp32 1208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))
48 simp33 1209 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
4921, 47, 483jca 1126 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
51 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))
531, 2, 33dimlem2 38932 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)))
5446, 50, 51, 52, 53syl112anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)))
55 3simpc 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)) β†’ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)))
57 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑣 β†’ (π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5857notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑣 β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
59 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = 𝑣 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣))
6059breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = 𝑣 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)))
6160notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ = 𝑣 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ) ↔ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)))
6258, 61anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ÿ = 𝑣 β†’ ((Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)) ↔ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣))))
63 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑀 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣) ↔ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)))
6463notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣) ↔ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)))
6564anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑀 β†’ ((Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣)) ↔ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣))))
6662, 65rspc2ev 3622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
67663expa 1116 . . . . . . . . . 10 (((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
6845, 56, 67syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
6921, 43jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
7069ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴))
71 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
7221, 42jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
738, 48jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)))
7471, 72, 733jca 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))))
7574ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))))
76 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
77 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
791, 2, 33dimlem3 38934 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
8075, 76, 77, 78, 79syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
81 3simpc 1148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
83 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑀 β†’ (𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒) ↔ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
8483notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒) ↔ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
8584anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑀 β†’ ((Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)) ↔ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))))
8636, 85rspc2ev 3622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
87863expa 1116 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
8870, 82, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
8972ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴))
908, 47jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)))
9171, 72, 903jca 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))))
9291ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))))
93 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
94 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))
961, 2, 33dimlem4 38937 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒))) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
9792, 93, 94, 95, 96syl121anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
98 3simpc 1148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒)))
100403expa 1116 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑣 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
10189, 99, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
10288, 101pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
10368, 102pm2.61dan 812 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
10441, 103pm2.61dane 3026 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
1051043exp 1117 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))))
1061053expd 1351 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 ∈ 𝐴 β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))))))
107106imp32 418 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))))
108107rexlimdv 3150 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))))
109108rexlimdvva 3208 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘€ ∈ 𝐴 (𝑄 β‰  𝑒 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑒) ∧ Β¬ 𝑀 ≀ ((𝑄 ∨ 𝑒) ∨ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ))))
1105, 109mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑠 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  lecple 17240  joincjn 18303  Atomscatm 38735  AtLatcal 38736  HLchlt 38822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823
This theorem is referenced by:  3dim3  38942  lhp2lt  39474
  Copyright terms: Public domain W3C validator