Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isline4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isline4N 35936
Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isline4.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline4.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isline4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline4.n 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline4.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
isline4N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝𝐶𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑋,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑁(𝑝)

Proof of Theorem isline4N
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isline4.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2778 . . 3 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 isline4.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 isline4.n . . 3 𝑁 = (Lines‘𝐾)
5 isline4.m . . 3 𝑀 = (pmap‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5isline3 35935 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
7 simpll 757 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
81, 3atbase 35448 . . . . . 6 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
98adantl 475 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
10 simplr 759 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
11 eqid 2778 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 isline4.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
131, 11, 2, 12, 3cvrval3 35572 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐵𝑋𝐵) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋)))
147, 9, 10, 13syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋)))
15 hlatl 35519 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
1615ad3antrrr 720 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
17 simpr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
18 simplr 759 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑝𝐴)
1911, 3atncmp 35471 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑝𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝𝑞𝑝))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝𝑞𝑝))
21 necom 3022 . . . . . . 7 (𝑞𝑝𝑝𝑞)
2220, 21syl6bb 279 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝𝑝𝑞))
23 eqcom 2785 . . . . . . 7 ((𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
2423a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
2522, 24anbi12d 624 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
2625rexbidva 3234 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
2714, 26bitrd 271 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
2827rexbidva 3234 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑝𝐴 𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
296, 28bitr4d 274 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝𝐶𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wrex 3091   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  lecple 16349  joincjn 17334  ccvr 35421  Atomscatm 35422  AtLatcal 35423  HLchlt 35509  Linesclines 35653  pmapcpmap 35656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-lub 17364  df-glb 17365  df-join 17366  df-meet 17367  df-p0 17429  df-lat 17436  df-clat 17498  df-oposet 35335  df-ol 35337  df-oml 35338  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457  df-cvlat 35481  df-hlat 35510  df-lines 35660  df-pmap 35663
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator