Theorem isline4N 38643

Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isline4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline4.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isline4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline4.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline4.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isline4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑁(𝑝)

Proof of Theorem isline4N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isline4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		isline4.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		isline4.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
5		isline4.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	isline3 38642	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
7		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
8	1, 3	atbase 38154	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		isline4.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	1, 11, 2, 12, 3	cvrval3 38279	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋)))
14	7, 9, 10, 13	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋)))
15		hlatl 38225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
16	15	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
17		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
18		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
19	11, 3	atncmp 38177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
21		necom 2994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞)
22	20, 21	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
23		eqcom 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
25	22, 24	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
26	25	rexbidva 3176	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
27	14, 26	bitrd 278	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
28	27	rexbidva 3176	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
29	6, 28	bitr4d 281	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263   ⋖ ccvr 38127  Atomscatm 38128  AtLatcal 38129  HLchlt 38215  Linesclines 38360  pmapcpmap 38363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-lines 38367  df-pmap 38370

This theorem is referenced by: (None)