Theorem isline4N 40754

Description: Definition of line in terms of original lattice elements. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isline4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
isline4.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
isline4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
isline4.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
isline4.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
isline4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   𝑀,𝑝   𝑋,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑁(𝑝)

Proof of Theorem isline4N

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isline4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		isline4.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		isline4.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
5		isline4.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	isline3 40753	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
7		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
8	1, 3	atbase 40266	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
10		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		isline4.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	1, 11, 2, 12, 3	cvrval3 40390	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋)))
14	7, 9, 10, 13	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋)))
15		hlatl 40337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
16	15	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
17		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
18		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐴)
19	11, 3	atncmp 40289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑞 ≠ 𝑝))
21		necom 3008	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ≠ 𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞)
22	20, 21	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ↔ 𝑝 ≠ 𝑞))
23		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
25	22, 24	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
26	25	rexbidva 3184	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑝 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
27	14, 26	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
28	27	rexbidva 3184	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
29	6, 28	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝𝐶𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  lecple 17396  joincjn 18446   ⋖ ccvr 40239  Atomscatm 40240  AtLatcal 40241  HLchlt 40327  Linesclines 40471  pmapcpmap 40474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18429  df-poset 18448  df-plt 18463  df-lub 18479  df-glb 18480  df-join 18481  df-meet 18482  df-p0 18558  df-lat 18567  df-clat 18634  df-oposet 40153  df-ol 40155  df-oml 40156  df-covers 40243  df-ats 40244  df-atl 40275  df-cvlat 40299  df-hlat 40328  df-lines 40478  df-pmap 40481

This theorem is used by: (None)