Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatexchb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatexchb1 39335
Description: A version of cvlexchb1 39331 for atoms. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatexch.l = (le‘𝐾)
cvlatexch.j = (join‘𝐾)
cvlatexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlatexchb1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))

Proof of Theorem cvlatexchb1
StepHypRef Expression
1 cvlatl 39326 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 cvlatexch.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cvlatexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atncmp 39313 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (¬ 𝑃 𝑅𝑃𝑅))
82, 3, 4, 7syl3anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 𝑅𝑃𝑅))
9 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
109, 6atbase 39290 . . . 4 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11 cvlatexch.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
129, 5, 11, 6cvlexchb1 39331 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))
13123expia 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑃 𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
1410, 13syl3anr3 1420 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
158, 14sylbird 260 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
16153impia 1118 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  Atomscatm 39264  AtLatcal 39265  CvLatclc 39266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323
This theorem is referenced by:  cvlatexchb2  39336  cvlatexch1  39337  cvlatexch3  39339  hlatexchb1  39395  llnexchb2lem  39870  4atexlemunv  40068  cdleme19d  40308
  Copyright terms: Public domain W3C validator