Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatexchb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatexchb1 36337
Description: A version of cvlexchb1 36333 for atoms. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatexch.l = (le‘𝐾)
cvlatexch.j = (join‘𝐾)
cvlatexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlatexchb1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))

Proof of Theorem cvlatexchb1
StepHypRef Expression
1 cvlatl 36328 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr1 1188 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 simpr3 1190 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 cvlatexch.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cvlatexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atncmp 36315 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (¬ 𝑃 𝑅𝑃𝑅))
82, 3, 4, 7syl3anc 1365 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 𝑅𝑃𝑅))
9 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
109, 6atbase 36292 . . . 4 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11 cvlatexch.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
129, 5, 11, 6cvlexchb1 36333 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))
13123expia 1115 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))) → (¬ 𝑃 𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
1410, 13syl3anr3 1412 . . 3 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (¬ 𝑃 𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
158, 14sylbird 261 . 2 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃𝑅 → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄))))
16153impia 1111 1 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃 (𝑅 𝑄) ↔ (𝑅 𝑃) = (𝑅 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  Atomscatm 36266  AtLatcal 36267  CvLatclc 36268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325
This theorem is referenced by:  cvlatexchb2  36338  cvlatexch1  36339  cvlatexch3  36341  hlatexchb1  36396  llnexchb2lem  36871  4atexlemunv  37069  cdleme19d  37309
  Copyright terms: Public domain W3C validator