Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2at0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2at0 35988
Description: Join and meet with different atoms under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2at0.l = (le‘𝐾)
lhp2at0.j = (join‘𝐾)
lhp2at0.m = (meet‘𝐾)
lhp2at0.z 0 = (0.‘𝐾)
lhp2at0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2at0 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑈) 𝑉) = 0 )

Proof of Theorem lhp2at0
StepHypRef Expression
1 simp11l 1383 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlol 35317 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
31, 2syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
4 simp12l 1385 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑃𝐴)
5 simp2l 1256 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑈𝐴)
6 eqid 2765 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 lhp2at0.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 lhp2at0.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 35323 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
101, 4, 5, 9syl3anc 1490 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp11r 1384 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑊𝐻)
12 lhp2at0.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
136, 12lhpbase 35954 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
15 simp3l 1258 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉𝐴)
166, 8atbase 35245 . . . . 5 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
1715, 16syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
18 lhp2at0.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
196, 18latmassOLD 35185 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑃 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑈) 𝑊) 𝑉) = ((𝑃 𝑈) (𝑊 𝑉)))
203, 10, 14, 17, 19syl13anc 1491 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (((𝑃 𝑈) 𝑊) 𝑉) = ((𝑃 𝑈) (𝑊 𝑉)))
21 lhp2at0.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
22 lhp2at0.z . . . . . . . . 9 0 = (0.‘𝐾)
2321, 18, 22, 8, 12lhpmat 35986 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )
24233adant3 1162 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑃 𝑊) = 0 )
25243ad2ant1 1163 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = 0 )
2625oveq1d 6857 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑊) 𝑈) = ( 0 𝑈))
276, 8atbase 35245 . . . . . . 7 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
285, 27syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
29 simp2r 1257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑈 𝑊)
306, 21, 7, 18, 8atmod4i2 35823 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑈 𝑊) → ((𝑃 𝑊) 𝑈) = ((𝑃 𝑈) 𝑊))
311, 4, 28, 14, 29, 30syl131anc 1502 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑊) 𝑈) = ((𝑃 𝑈) 𝑊))
326, 7, 22olj02 35182 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 𝑈) = 𝑈)
333, 28, 32syl2anc 579 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ( 0 𝑈) = 𝑈)
3426, 31, 333eqtr3d 2807 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑈) 𝑊) = 𝑈)
3534oveq1d 6857 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (((𝑃 𝑈) 𝑊) 𝑉) = (𝑈 𝑉))
3620, 35eqtr3d 2801 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑈) (𝑊 𝑉)) = (𝑈 𝑉))
37 simp3r 1259 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑉 𝑊)
381hllatd 35320 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
396, 21, 18latleeqm2 17346 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑉 𝑊 ↔ (𝑊 𝑉) = 𝑉))
4038, 17, 14, 39syl3anc 1490 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑉 𝑊 ↔ (𝑊 𝑉) = 𝑉))
4137, 40mpbid 223 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑊 𝑉) = 𝑉)
4241oveq2d 6858 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑈) (𝑊 𝑉)) = ((𝑃 𝑈) 𝑉))
43 simp13 1262 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝑈𝑉)
44 hlatl 35316 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
451, 44syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → 𝐾 ∈ AtLat)
4618, 22, 8atnem0 35274 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈𝐴𝑉𝐴) → (𝑈𝑉 ↔ (𝑈 𝑉) = 0 ))
4745, 5, 15, 46syl3anc 1490 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑈𝑉 ↔ (𝑈 𝑉) = 0 ))
4843, 47mpbid 223 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → (𝑈 𝑉) = 0 )
4936, 42, 483eqtr3d 2807 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ((𝑃 𝑈) 𝑉) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  lecple 16221  joincjn 17210  meetcmee 17211  0.cp0 17303  Latclat 17311  OLcol 35130  Atomscatm 35219  AtLatcal 35220  HLchlt 35306  LHypclh 35940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-lat 17312  df-clat 17374  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307  df-psubsp 35459  df-pmap 35460  df-padd 35752  df-lhyp 35944
This theorem is referenced by:  lhp2atnle  35989  cdlemh2  36772
  Copyright terms: Public domain W3C validator