Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlval3 39692
Description: The value of the trace of a lattice translation in terms of 2 atoms. TODO: Try to shorten proof. (Contributed by NM, 3-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlval3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlval3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlval3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlval3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlval3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlval3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlval3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlval3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))

Proof of Theorem trlval3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpl31 1251 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simpl2 1189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simpr 483 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)
5 trlval3.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 eqid 2728 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 trlval3.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 trlval3.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 trlval3.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 trlval3.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
115, 6, 7, 8, 9, 10trl0 39675 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
121, 2, 3, 4, 11syl112anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
13 simpl33 1253 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
14 simpl1l 1221 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 hlatl 38864 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
174oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ 𝑃))
18 simp31l 1293 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
1918adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
20 trlval3.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2120, 7hlatjidm 38873 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
2214, 19, 21syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
2317, 22eqtrd 2768 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
2423, 19eqeltrd 2829 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
25 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
26 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
27 simp31 1206 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
28 simp32 1207 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
295, 7, 8, 9ltrn2ateq 39685 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃 ↔ (πΉβ€˜π‘„) = 𝑄))
3025, 26, 27, 28, 29syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃 ↔ (πΉβ€˜π‘„) = 𝑄))
3130biimpa 475 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = 𝑄)
3231oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ 𝑄))
33 simp32l 1295 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3433adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3520, 7hlatjidm 38873 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
3614, 34, 35syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
3732, 36eqtrd 2768 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = 𝑄)
3837, 34eqeltrd 2829 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ 𝐴)
39 trlval3.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4039, 6, 7atnem0 38822 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ↔ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
4116, 24, 38, 40syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ↔ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
4213, 41mpbid 231 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ))
4312, 42eqtr4d 2771 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
44 simpl1 1188 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
45 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
46 simpl31 1251 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
475, 20, 39, 7, 8, 9, 10trlval2 39668 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
49 simpl1l 1221 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5049hllatd 38868 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5118adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
525, 7, 8, 9ltrnat 39645 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
5344, 45, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
54 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5554, 20, 7hlatjcl 38871 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5649, 51, 53, 55syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
57 simpl1r 1222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
5854, 8lhpbase 39503 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5957, 58syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6054, 5, 39latmle1 18463 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
6150, 56, 59, 60syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
6248, 61eqbrtrd 5174 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
63 simpl32 1252 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
645, 20, 39, 7, 8, 9, 10trlval2 39668 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š))
6544, 45, 63, 64syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š))
6633adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
675, 7, 8, 9ltrnat 39645 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
6844, 45, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
6954, 20, 7hlatjcl 38871 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7049, 66, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7154, 5, 39latmle1 18463 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
7250, 70, 59, 71syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
7365, 72eqbrtrd 5174 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
7454, 8, 9, 10trlcl 39669 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7544, 45, 74syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7654, 5, 39latlem12 18465 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ↔ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))))
7750, 75, 56, 70, 76syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ↔ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))))
7862, 73, 77mpbi2and 710 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
7949, 15syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
80 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
815, 7, 8, 9, 10trlat 39674 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
8244, 46, 45, 80, 81syl112anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
8354, 39latmcl 18439 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8450, 56, 70, 83syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8554, 5, 6, 7atlen0 38814 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β‰  (0.β€˜πΎ))
8679, 84, 82, 78, 85syl31anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β‰  (0.β€˜πΎ))
8786neneqd 2942 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ Β¬ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ))
88 simpl33 1253 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
8920, 39, 6, 72atmat0 39031 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
9049, 51, 53, 66, 68, 88, 89syl33anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
9190ord 862 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴 β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
9287, 91mt3d 148 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴)
935, 7atcmp 38815 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))))
9479, 82, 92, 93syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))))
9578, 94mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
9643, 95pm2.61dane 3026 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  0.cp0 18422  Latclat 18430  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664
This theorem is referenced by:  trlval4  39693
  Copyright terms: Public domain W3C validator