Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlval3 39571
Description: The value of the trace of a lattice translation in terms of 2 atoms. TODO: Try to shorten proof. (Contributed by NM, 3-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlval3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlval3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlval3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlval3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlval3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlval3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlval3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlval3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))

Proof of Theorem trlval3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpl31 1251 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
3 simpl2 1189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simpr 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)
5 trlval3.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 eqid 2726 . . . . 5 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 trlval3.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 trlval3.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 trlval3.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 trlval3.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
115, 6, 7, 8, 9, 10trl0 39554 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
121, 2, 3, 4, 11syl112anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
13 simpl33 1253 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
14 simpl1l 1221 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
15 hlatl 38743 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
174oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ 𝑃))
18 simp31l 1293 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
20 trlval3.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2120, 7hlatjidm 38752 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
2214, 19, 21syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ 𝑃) = 𝑃)
2317, 22eqtrd 2766 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
2423, 19eqeltrd 2827 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
25 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
26 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
27 simp31 1206 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
28 simp32 1207 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
295, 7, 8, 9ltrn2ateq 39564 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃 ↔ (πΉβ€˜π‘„) = 𝑄))
3025, 26, 27, 28, 29syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃 ↔ (πΉβ€˜π‘„) = 𝑄))
3130biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘„) = 𝑄)
3231oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ 𝑄))
33 simp32l 1295 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3520, 7hlatjidm 38752 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
3614, 34, 35syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
3732, 36eqtrd 2766 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = 𝑄)
3837, 34eqeltrd 2827 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ 𝐴)
39 trlval3.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4039, 6, 7atnem0 38701 . . . . 5 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ↔ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
4116, 24, 38, 40syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ↔ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
4213, 41mpbid 231 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ))
4312, 42eqtr4d 2769 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = 𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
44 simpl1 1188 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
45 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
46 simpl31 1251 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
475, 20, 39, 7, 8, 9, 10trlval2 39547 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4844, 45, 46, 47syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
49 simpl1l 1221 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5049hllatd 38747 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5118adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
525, 7, 8, 9ltrnat 39524 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
5344, 45, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
54 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5554, 20, 7hlatjcl 38750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5649, 51, 53, 55syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
57 simpl1r 1222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
5854, 8lhpbase 39382 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5957, 58syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6054, 5, 39latmle1 18429 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
6150, 56, 59, 60syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
6248, 61eqbrtrd 5163 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
63 simpl32 1252 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
645, 20, 39, 7, 8, 9, 10trlval2 39547 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š))
6544, 45, 63, 64syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š))
6633adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
675, 7, 8, 9ltrnat 39524 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
6844, 45, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
6954, 20, 7hlatjcl 38750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7049, 66, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7154, 5, 39latmle1 18429 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
7250, 70, 59, 71syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∧ π‘Š) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
7365, 72eqbrtrd 5163 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
7454, 8, 9, 10trlcl 39548 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7544, 45, 74syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7654, 5, 39latlem12 18431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ↔ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))))
7750, 75, 56, 70, 76syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ↔ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))))
7862, 73, 77mpbi2and 709 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
7949, 15syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
80 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
815, 7, 8, 9, 10trlat 39553 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
8244, 46, 45, 80, 81syl112anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
8354, 39latmcl 18405 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8450, 56, 70, 83syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8554, 5, 6, 7atlen0 38693 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β‰  (0.β€˜πΎ))
8679, 84, 82, 78, 85syl31anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) β‰  (0.β€˜πΎ))
8786neneqd 2939 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ Β¬ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ))
88 simpl33 1253 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))
8920, 39, 6, 72atmat0 38910 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
9049, 51, 53, 66, 68, 88, 89syl33anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
9190ord 861 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴 β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) = (0.β€˜πΎ)))
9287, 91mt3d 148 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴)
935, 7atcmp 38694 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))))
9479, 82, 92, 93syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ≀ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))))
9578, 94mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
9643, 95pm2.61dane 3023 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘„))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  0.cp0 18388  Latclat 18396  Atomscatm 38646  AtLatcal 38647  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  trlval4  39572
  Copyright terms: Public domain W3C validator