Theorem cvlatcvr1 38987

Description: An atom is covered by its join with a different atom. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvlatcvr1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvlatcvr1.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlatcvr1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvlatcvr1	⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))

Proof of Theorem cvlatcvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2		cvlatl 38971	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
5		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6		cvlatcvr1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	atnem0 38964	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ (𝑃(meet‘𝐾)𝑄) = (0.‘𝐾)))
8	3, 7	syld3an1 1407	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ (𝑃(meet‘𝐾)𝑄) = (0.‘𝐾)))
9		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	9, 6	atbase 38935	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11		cvlatcvr1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		cvlatcvr1.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
13	9, 11, 4, 5, 12, 6	cvlcvrp 38986	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃(meet‘𝐾)𝑄) = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
14	10, 13	syl3an2 1161	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃(meet‘𝐾)𝑄) = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))
15	8, 14	bitrd 278	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 ↔ 𝑃𝐶(𝑃 ∨ 𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  joincjn 18331  meetcmee 18332  0.cp0 18443  CLatccla 18518  OMLcoml 38821   ⋖ ccvr 38908  Atomscatm 38909  AtLatcal 38910  CvLatclc 38911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38822  df-ol 38824  df-oml 38825  df-covers 38912  df-ats 38913  df-atl 38944  df-cvlat 38968

This theorem is referenced by:  cvlatcvr2  38988  atcvr1  39064