Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatcvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatcvr1 36509
 Description: An atom is covered by its join with a different atom. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatcvr1.j = (join‘𝐾)
cvlatcvr1.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvlatcvr1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvlatcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))

Proof of Theorem cvlatcvr1
StepHypRef Expression
1 simp13 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvlatl 36493 . . . 4 (𝐾 ∈ CvLat → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
4 eqid 2820 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
5 eqid 2820 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
6 cvlatcvr1.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
74, 5, 6atnem0 36486 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ (𝑃(meet‘𝐾)𝑄) = (0.‘𝐾)))
83, 7syld3an1 1406 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 ↔ (𝑃(meet‘𝐾)𝑄) = (0.‘𝐾)))
9 eqid 2820 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
109, 6atbase 36457 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11 cvlatcvr1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
12 cvlatcvr1.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
139, 11, 4, 5, 12, 6cvlcvrp 36508 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄𝐴) → ((𝑃(meet‘𝐾)𝑄) = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
1410, 13syl3an2 1160 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃(meet‘𝐾)𝑄) = (0.‘𝐾) ↔ 𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
158, 14bitrd 281 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄𝑃𝐶(𝑃 𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006   class class class wbr 5038  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129  Basecbs 16458  joincjn 17529  meetcmee 17530  0.cp0 17622  CLatccla 17692  OMLcoml 36343   ⋖ ccvr 36430  Atomscatm 36431  AtLatcal 36432  CvLatclc 36433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-proset 17513  df-poset 17531  df-plt 17543  df-lub 17559  df-glb 17560  df-join 17561  df-meet 17562  df-p0 17624  df-lat 17631  df-clat 17693  df-oposet 36344  df-ol 36346  df-oml 36347  df-covers 36434  df-ats 36435  df-atl 36466  df-cvlat 36490 This theorem is referenced by:  cvlatcvr2  36510  atcvr1  36585
 Copyright terms: Public domain W3C validator