Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvlatcvr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvlatcvr1 38297
Description: An atom is covered by its join with a different atom. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvlatcvr1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvlatcvr1.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvlatcvr1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvlatcvr1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))

Proof of Theorem cvlatcvr1
StepHypRef Expression
1 simp13 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
2 cvlatl 38281 . . . 4 (𝐾 ∈ CvLat β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4 eqid 2732 . . . 4 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
5 eqid 2732 . . . 4 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
6 cvlatcvr1.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
74, 5, 6atnem0 38274 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ (𝑃(meetβ€˜πΎ)𝑄) = (0.β€˜πΎ)))
83, 7syld3an1 1410 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ (𝑃(meetβ€˜πΎ)𝑄) = (0.β€˜πΎ)))
9 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
109, 6atbase 38245 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 cvlatcvr1.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 cvlatcvr1.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
139, 11, 4, 5, 12, 6cvlcvrp 38296 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃(meetβ€˜πΎ)𝑄) = (0.β€˜πΎ) ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
1410, 13syl3an2 1164 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃(meetβ€˜πΎ)𝑄) = (0.β€˜πΎ) ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
158, 14bitrd 278 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ↔ 𝑃𝐢(𝑃 ∨ 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  joincjn 18266  meetcmee 18267  0.cp0 18378  CLatccla 18453  OMLcoml 38131   β‹– ccvr 38218  Atomscatm 38219  AtLatcal 38220  CvLatclc 38221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278
This theorem is referenced by:  cvlatcvr2  38298  atcvr1  38374
  Copyright terms: Public domain W3C validator