MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdc4 9867
Description: A more general version of axdc3 9865 that allows the function 𝐹 to vary with 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdc4.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
axdc4 ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑘   𝐶,𝑔,𝑘   𝑔,𝐹,𝑘

Proof of Theorem axdc4
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 eqid 2822 . 2 (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥))) = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)))
31, 2axdc4lem 9866 1 ((𝐶𝐴𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  wral 3130  Vcvv 3469  cdif 3905  c0 4265  𝒫 cpw 4511  {csn 4539   × cxp 5530  suc csuc 6171  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  ωcom 7565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-dc 9857
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089
This theorem is referenced by:  axcclem  9868  axdc4uzlem  13346
  Copyright terms: Public domain W3C validator