Theorem axdc4 10462

Description: A more general version of axdc3 10460 that allows the function 𝐹 to vary with 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axdc4.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
axdc4	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑘   𝐶,𝑔,𝑘   𝑔,𝐹,𝑘

Proof of Theorem axdc4

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axdc4.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥))) = (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)))
3	1, 2	axdc4lem 10461	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4587   × cxp 5657  suc csuc 6363  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  ωcom 7866

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-dc 10452

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8459

This theorem is used by:  axcclem  10463  axdc4uzlem  14051