Theorem axdc4 10409

Description: A more general version of axdc3 10407 that allows the function 𝐹 to vary with 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axdc4.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
axdc4	⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑘   𝐶,𝑔,𝑘   𝑔,𝐹,𝑘

Proof of Theorem axdc4

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axdc4.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥))) = (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ({suc 𝑛} × (𝑛𝐹𝑥)))
3	1, 2	axdc4lem 10408	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:ω⟶𝐴 ∧ (𝑔‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ ω (𝑔‘suc 𝑘) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   × cxp 5636  suc csuc 6334  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ωcom 7842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-dc 10399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434

This theorem is referenced by:  axcclem  10410  axdc4uzlem  13948