MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduleg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduleg 17734
Description: Truth of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduval.l = (le‘𝑂)
oduleg.g 𝐺 = (le‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
oduleg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐺𝐵𝐵 𝐴))

Proof of Theorem oduleg
StepHypRef Expression
1 oduleg.g . . . 4 𝐺 = (le‘𝐷)
2 oduval.d . . . . 5 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3 oduval.l . . . . 5 = (le‘𝑂)
42, 3oduleval 17733 . . . 4 = (le‘𝐷)
51, 4eqtr4i 2851 . . 3 𝐺 =
65breqi 5068 . 2 (𝐴𝐺𝐵𝐴 𝐵)
7 brcnvg 5748 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 𝐵𝐵 𝐴))
86, 7syl5bb 284 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐺𝐵𝐵 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106   class class class wbr 5062  ccnv 5552  cfv 6351  lecple 16564  ODualcodu 17730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-dec 12091  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-sets 16482  df-ple 16577  df-odu 17731
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator