Theorem cbvsumi 15643

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsumi.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
cbvsumi.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐶
cbvsumi.3	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumi	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cbvsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsumi.3	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2904	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		cbvsumi.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		cbvsumi.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 15641	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  Ⅎwnfc 2884  Σcsu 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seq 13967  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  sumfc  15655  sumss2  15672  fsumzcl2  15685  fsumsplitf  15688  sumsnf  15689  sumsns  15696  fsummsnunz  15700  fsumsplitsnun  15701  fsum2dlem  15716  fsumcom2  15720  fsumshftm  15727  fsumrlim  15757  fsumo1  15758  o1fsum  15759  fsumiun  15767  ovolfiniun  25018  ovoliun2  25023  volfiniun  25064  itgfsum  25344  elplyd  25716  coeeq2  25756  fsumdvdscom  26689  fsumdvdsmul  26699  fsumvma  26716  fsumshftd  37870  binomcxplemdvsum  43162  sumsnd  43758  fourierdlem115  44985  fsummsndifre  46088  fsumsplitsndif  46089  fsummmodsndifre  46090  fsummmodsnunz  46091