Theorem cbvsumi 15226

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsumi.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
cbvsumi.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐶
cbvsumi.3	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumi	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cbvsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsumi.3	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2897	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2897	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		cbvsumi.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		cbvsumi.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 15224	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543  Ⅎwnfc 2877  Σcsu 15214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-xp 5542  df-cnv 5544  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-iota 6316  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-seq 13540  df-sum 15215

This theorem is referenced by:  sumfc  15238  sumss2  15255  fsumzcl2  15267  fsumsplitf  15270  sumsnf  15271  sumsns  15277  fsummsnunz  15281  fsumsplitsnun  15282  fsum2dlem  15297  fsumcom2  15301  fsumshftm  15308  fsumrlim  15338  fsumo1  15339  o1fsum  15340  fsumiun  15348  ovolfiniun  24352  ovoliun2  24357  volfiniun  24398  itgfsum  24678  elplyd  25050  coeeq2  25090  fsumdvdscom  26021  fsumdvdsmul  26031  fsumvma  26048  fsumshftd  36652  binomcxplemdvsum  41587  sumsnd  42183  fourierdlem115  43380  fsummsndifre  44440  fsumsplitsndif  44441  fsummmodsndifre  44442  fsummmodsnunz  44443