Theorem cbvsumi 14844

Description: Change bound variable in a sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvsumi.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
cbvsumi.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐶
cbvsumi.3	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvsumi	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cbvsumi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvsumi.3	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2934	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2934	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		cbvsumi.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		cbvsumi.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 14842	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601  Ⅎwnfc 2919  Σcsu 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-xp 5363  df-cnv 5365  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-iota 6101  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-seq 13125  df-sum 14834

This theorem is referenced by:  sumfc  14856  sumss2  14873  fsumzcl2  14885  fsumsplitf  14888  sumsnf  14889  sumsns  14895  fsummsnunz  14899  fsumsplitsnun  14900  fsum2dlem  14915  fsumcom2  14919  fsumshftm  14926  fsumrlim  14956  fsumo1  14957  o1fsum  14958  fsumiun  14966  ovolfiniun  23716  ovoliun2  23721  volfiniun  23762  itgfsum  24041  elplyd  24406  coeeq2  24446  fsumdvdscom  25374  fsumdvdsmul  25384  fsumvma  25401  fsumshftd  35115  binomcxplemdvsum  39524  sumsnd  40132  fourierdlem115  41379  fsummsndifre  42388  fsumsplitsndif  42389  fsummmodsndifre  42390  fsummmodsnunz  42391