Theorem fsumsplitsndif 47357

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsndif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsndif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 4744	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
2		disjsn 4663	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
3	1, 2	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅)
4		uncom 4109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋}))
5		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	5	snssd 4760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑋} ⊆ 𝐴)
7		undif 4433	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
9	4, 8	eqtr2id 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}))
10		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
11		rspcsbela 4389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
13	12	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	13	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	3, 9, 10, 15	fsumsplit 15648	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
17		csbeq1a 3865	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
18		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcsb1v 3875	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
20	17, 18, 19	cbvsum 15602	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21	17, 18, 19	cbvsum 15602	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
22	17, 18, 19	cbvsum 15602	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	21, 22	oveq12i 7361	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵))
25		rspcsbela 4389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12581	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
27	26	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
28		sumsns 15657	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
29	5, 27, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
30	29	oveq2d 7365	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))
31	24, 30	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⦋csb 3851   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  {csn 4577  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  ℂcc 11007   + caddc 11012  ℤcz 12471  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by: (None)