Theorem fsumsplitsndif 44825

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsndif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsndif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 4726	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
2		disjsn 4647	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
3	1, 2	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅)
4		uncom 4087	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋}))
5		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	5	snssd 4742	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑋} ⊆ 𝐴)
7		undif 4415	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
8	6, 7	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
9	4, 8	eqtr2id 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}))
10		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
11		rspcsbela 4369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
13	12	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	13	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	14	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	3, 9, 10, 15	fsumsplit 15453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
17		nfcv 2907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
18		nfcsb1v 3857	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
19		csbeq1a 3846	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
20	17, 18, 19	cbvsumi 15409	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21	17, 18, 19	cbvsumi 15409	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
22	17, 18, 19	cbvsumi 15409	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	21, 22	oveq12i 7287	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2803	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵))
25		rspcsbela 4369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12427	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
27	26	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
28		sumsns 15462	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
29	5, 27, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
30	29	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))
31	24, 30	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ⦋csb 3832   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869   + caddc 10874  ℤcz 12319  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by: (None)