Theorem fsumsplitsndif 43890

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsndif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsndif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 4686	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
2		disjsn 4607	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
3	1, 2	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅)
4		uncom 4080	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋}))
5		simp2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	5	snssd 4702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑋} ⊆ 𝐴)
7		undif 4388	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
8	6, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
9	4, 8	syl5req 2846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}))
10		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
11		rspcsbela 4343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
13	12	expcom 417	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	13	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	14	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	3, 9, 10, 15	fsumsplit 15089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
17		nfcv 2955	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
18		nfcsb1v 3852	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
19		csbeq1a 3842	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
20	17, 18, 19	cbvsumi 15046	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21	17, 18, 19	cbvsumi 15046	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
22	17, 18, 19	cbvsumi 15046	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	21, 22	oveq12i 7147	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵))
25		rspcsbela 4343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12076	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
27	26	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
28		sumsns 15097	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
29	5, 27, 28	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
30	29	oveq2d 7151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))
31	24, 30	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ⦋csb 3828   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℂcc 10524   + caddc 10529  ℤcz 11969  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035

This theorem is referenced by: (None)