Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsplitsndif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitsndif 42103
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsndif ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + 𝑋 / 𝑘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsndif
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neldifsnd 4480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
2 disjsn 4404 . . . . 5 (((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
31, 2sylibr 225 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅)
4 uncom 3921 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋}))
5 simp2 1167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋𝐴)
65snssd 4496 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑋} ⊆ 𝐴)
7 undif 4211 . . . . . 6 ({𝑋} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
86, 7sylib 209 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
94, 8syl5req 2812 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}))
10 simp1 1166 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
11 rspcsbela 4170 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1211zcnd 11736 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
1312expcom 402 . . . . . 6 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥𝐴𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
14133ad2ant3 1165 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1514imp 395 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
163, 9, 10, 15fsumsplit 14772 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 / 𝑘𝐵))
17 nfcv 2907 . . . 4 𝑥𝐵
18 nfcsb1v 3709 . . . 4 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
19 csbeq1a 3702 . . . 4 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
2017, 18, 19cbvsumi 14728 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵
2117, 18, 19cbvsumi 14728 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝑥 / 𝑘𝐵
2217, 18, 19cbvsumi 14728 . . . 4 Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 / 𝑘𝐵
2321, 22oveq12i 6858 . . 3 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}𝑥 / 𝑘𝐵)
2416, 20, 233eqtr4g 2824 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵))
25 rspcsbela 4170 . . . . . 6 ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
2625zcnd 11736 . . . . 5 ((𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
27263adant1 1160 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
28 sumsns 14780 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑋 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = 𝑋 / 𝑘𝐵)
295, 27, 28syl2anc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = 𝑋 / 𝑘𝐵)
3029oveq2d 6862 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + 𝑋 / 𝑘𝐵))
3124, 30eqtrd 2799 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + 𝑋 / 𝑘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  csb 3693  cdif 3731  cun 3732  cin 3733  wss 3734  c0 4081  {csn 4336  (class class class)co 6846  Fincfn 8164  cc 10191   + caddc 10196  cz 11629  Σcsu 14717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-div 10944  df-nn 11280  df-2 11340  df-3 11341  df-n0 11544  df-z 11630  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13329  df-cj 14140  df-re 14141  df-im 14142  df-sqrt 14276  df-abs 14277  df-clim 14520  df-sum 14718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator