Theorem fsumsplitsndif 47298

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsndif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsndif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 4798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
2		disjsn 4716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
3	1, 2	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅)
4		uncom 4168	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋}))
5		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	5	snssd 4814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑋} ⊆ 𝐴)
7		undif 4488	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
9	4, 8	eqtr2id 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}))
10		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
11		rspcsbela 4444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
13	12	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	13	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	3, 9, 10, 15	fsumsplit 15774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
17		csbeq1a 3922	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
18		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcsb1v 3933	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
20	17, 18, 19	cbvsum 15728	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21	17, 18, 19	cbvsum 15728	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
22	17, 18, 19	cbvsum 15728	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	21, 22	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵))
25		rspcsbela 4444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12721	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
27	26	3adant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
28		sumsns 15783	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
29	5, 27, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
30	29	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))
31	24, 30	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ⦋csb 3908   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℂcc 11151   + caddc 11156  ℤcz 12611  Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720

This theorem is referenced by: (None)