Theorem fsumsplitsndif 47347

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsndif	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsndif

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 4753	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
2		disjsn 4671	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋}))
3	1, 2	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∩ {𝑋}) = ∅)
4		uncom 4117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋}))
5		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	5	snssd 4769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑋} ⊆ 𝐴)
7		undif 4441	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
8	6, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ({𝑋} ∪ (𝐴 ∖ {𝑋})) = 𝐴)
9	4, 8	eqtr2id 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑋}) ∪ {𝑋}))
10		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
11		rspcsbela 4397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 12615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
13	12	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	13	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	14	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	3, 9, 10, 15	fsumsplit 15683	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
17		csbeq1a 3873	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
18		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcsb1v 3883	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
20	17, 18, 19	cbvsum 15637	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21	17, 18, 19	cbvsum 15637	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
22	17, 18, 19	cbvsum 15637	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	21, 22	oveq12i 7381	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑋}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵))
25		rspcsbela 4397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
26	25	zcnd 12615	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
27	26	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
28		sumsns 15692	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
29	5, 27, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵)
30	29	oveq2d 7385	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑋}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))
31	24, 30	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑋})𝐵 + ⦋𝑋 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⦋csb 3859   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℂcc 11042   + caddc 11047  ℤcz 12505  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629

This theorem is referenced by: (None)