MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitsnun 15742
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 3036 . . . . . . 7 (𝑍𝐴 ↔ ¬ 𝑍𝐴)
2 disjsn 4717 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍𝐴)
31, 2sylbb2 237 . . . . . 6 (𝑍𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
43adantl 480 . . . . 5 ((𝑍𝑉𝑍𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
543ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6 eqidd 2726 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7 snfi 9071 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
8 unfi 9200 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
97, 8mpan2 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
11 rspcsbela 4437 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1211expcom 412 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
13123ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1413imp 405 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1514zcnd 12705 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
165, 6, 10, 15fsumsplit 15728 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝑥 / 𝑘𝐵 = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵))
17 nfcv 2891 . . . 4 𝑥𝐵
18 nfcsb1v 3914 . . . 4 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
19 csbeq1a 3903 . . . 4 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
2017, 18, 19cbvsumi 15684 . . 3 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝑥 / 𝑘𝐵
2117, 18, 19cbvsumi 15684 . . . 4 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵
2217, 18, 19cbvsumi 15684 . . . 4 Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵
2321, 22oveq12i 7431 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵)
2416, 20, 233eqtr4g 2790 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
25 simp2l 1196 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍𝑉)
26 snidg 4664 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
2726adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
28273ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29 elun2 4175 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
31 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
32 rspcsbela 4437 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3330, 31, 32syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3433zcnd 12705 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
35 sumsns 15737 . . . 4 ((𝑍𝑉𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = 𝑍 / 𝑘𝐵)
3625, 34, 35syl2anc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = 𝑍 / 𝑘𝐵)
3736oveq2d 7435 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
3824, 37eqtrd 2765 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wnel 3035  wral 3050  csb 3889  cun 3942  cin 3943  c0 4322  {csn 4630  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  cc 11143   + caddc 11148  cz 12596  Σcsu 15673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-sum 15674
This theorem is referenced by:  modfsummods  15780  sumeven  16372  sumodd  16373  finsumvtxdg2sstep  29440
  Copyright terms: Public domain W3C validator