MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitsnun 15791
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 3047 . . . . . . 7 (𝑍𝐴 ↔ ¬ 𝑍𝐴)
2 disjsn 4711 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍𝐴)
31, 2sylbb2 238 . . . . . 6 (𝑍𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
43adantl 481 . . . . 5 ((𝑍𝑉𝑍𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
543ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6 eqidd 2738 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7 snfi 9083 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
8 unfi 9211 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
97, 8mpan2 691 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
1093ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
11 rspcsbela 4438 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1211expcom 413 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
13123ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1413imp 406 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1514zcnd 12723 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
165, 6, 10, 15fsumsplit 15777 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝑥 / 𝑘𝐵 = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵))
17 csbeq1a 3913 . . . 4 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
18 nfcv 2905 . . . 4 𝑥𝐵
19 nfcsb1v 3923 . . . 4 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
2017, 18, 19cbvsum 15731 . . 3 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝑥 / 𝑘𝐵
2117, 18, 19cbvsum 15731 . . . 4 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵
2217, 18, 19cbvsum 15731 . . . 4 Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵
2321, 22oveq12i 7443 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵)
2416, 20, 233eqtr4g 2802 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
25 simp2l 1200 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍𝑉)
26 snidg 4660 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
28273ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29 elun2 4183 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
31 simp3 1139 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
32 rspcsbela 4438 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3433zcnd 12723 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
35 sumsns 15786 . . . 4 ((𝑍𝑉𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = 𝑍 / 𝑘𝐵)
3625, 34, 35syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = 𝑍 / 𝑘𝐵)
3736oveq2d 7447 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
3824, 37eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  wral 3061  csb 3899  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153   + caddc 11158  cz 12613  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  modfsummods  15829  sumeven  16424  sumodd  16425  finsumvtxdg2sstep  29567
  Copyright terms: Public domain W3C validator