Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitsnun 15099
 Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 3118 . . . . . . 7 (𝑍𝐴 ↔ ¬ 𝑍𝐴)
2 disjsn 4628 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍𝐴)
31, 2sylbb2 241 . . . . . 6 (𝑍𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
43adantl 485 . . . . 5 ((𝑍𝑉𝑍𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
543ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6 eqidd 2825 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7 snfi 8577 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
8 unfi 8769 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
97, 8mpan2 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
11 rspcsbela 4368 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1211expcom 417 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
13123ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1413imp 410 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1514zcnd 12074 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
165, 6, 10, 15fsumsplit 15086 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝑥 / 𝑘𝐵 = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵))
17 nfcv 2980 . . . 4 𝑥𝐵
18 nfcsb1v 3889 . . . 4 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
19 csbeq1a 3879 . . . 4 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
2017, 18, 19cbvsumi 15043 . . 3 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝑥 / 𝑘𝐵
2117, 18, 19cbvsumi 15043 . . . 4 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵
2217, 18, 19cbvsumi 15043 . . . 4 Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵
2321, 22oveq12i 7150 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}𝑥 / 𝑘𝐵)
2416, 20, 233eqtr4g 2884 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
25 simp2l 1196 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍𝑉)
26 snidg 4580 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
2726adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
28273ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29 elun2 4137 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
31 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
32 rspcsbela 4368 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3330, 31, 32syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3433zcnd 12074 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
35 sumsns 15094 . . . 4 ((𝑍𝑉𝑍 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = 𝑍 / 𝑘𝐵)
3625, 34, 35syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = 𝑍 / 𝑘𝐵)
3736oveq2d 7154 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
3824, 37eqtrd 2859 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍𝑉𝑍𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑍 / 𝑘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∉ wnel 3117  ∀wral 3132  ⦋csb 3865   ∪ cun 3916   ∩ cin 3917  ∅c0 4274  {csn 4548  (class class class)co 7138  Fincfn 8492  ℂcc 10520   + caddc 10525  ℤcz 11967  Σcsu 15031 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-sum 15032 This theorem is referenced by:  modfsummods  15137  sumeven  15725  sumodd  15726  finsumvtxdg2sstep  27328
 Copyright terms: Public domain W3C validator