Theorem fsumsplitsnun 15803

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsnun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylbb2 238	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7		snfi 9109	. . . . . 6 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
8		unfi 9238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
9	7, 8	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
11		rspcsbela 4461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
12	11	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
14	13	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12748	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	5, 6, 10, 15	fsumsplit 15789	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
17		csbeq1a 3935	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
18		nfcv 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcsb1v 3946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
20	17, 18, 19	cbvsum 15743	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21	17, 18, 19	cbvsum 15743	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
22	17, 18, 19	cbvsum 15743	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	21, 22	oveq12i 7460	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
25		simp2l 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ 𝑉)
26		snidg 4682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
27	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
28	27	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29		elun2 4206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
31		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
32		rspcsbela 4461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
33	30, 31, 32	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
35		sumsns 15798	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
36	25, 34, 35	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
37	36	oveq2d 7464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))
38	24, 37	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3052  ∀wral 3067  ⦋csb 3921   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975  ∅c0 4352  {csn 4648  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182   + caddc 11187  ℤcz 12639  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  modfsummods  15841  sumeven  16435  sumodd  16436  finsumvtxdg2sstep  29585