Theorem fsumsplitsnun 15965

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsnun	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅ ↔ ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylbb2 241	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∉ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑍}) = ∅)
6		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) = (𝐴 ∪ {𝑍}))
7		snfi 9109	. . . . . 6 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
8		unfi 9224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
9	7, 8	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
11		rspcsbela 4399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
12	11	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
13	12	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
14	13	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12844	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	5, 6, 10, 15	fsumsplit 15951	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵))
17		csbeq1a 3865	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
18		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
19		nfcsb1v 3875	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
20	17, 18, 19	cbvsum 15906	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
21	17, 18, 19	cbvsum 15906	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
22	17, 18, 19	cbvsum 15906	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
23	21, 22	oveq12i 7463	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑥 ∈ 𝐴 ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑍}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵))
25		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ 𝑉)
26		snidg 4622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
27	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) → 𝑍 ∈ {𝑍})
28	27	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ {𝑍})
29		elun2 4184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
30	28, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}))
31		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)
32		rspcsbela 4399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
33	30, 31, 32	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12844	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
35		sumsns 15960	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
36	25, 34, 35	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵 = ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵)
37	36	oveq2d 7467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑍}𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))
38	24, 37	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∉ 𝐴) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + ⦋𝑍 / 𝑘⦌𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  ∀wral 3080  ⦋csb 3851   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  ℂcc 11237   + caddc 11242  ℤcz 12733  Σcsu 15897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898

This theorem is used by:  modfsummods  16004  sumeven  16601  sumodd  16602  finsumvtxdg2sstep  30187