MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma 25781
Description: Rewrite a sum over the von Mangoldt function as a sum over prime powers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma.1 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
fsumvma.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumvma.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
fsumvma.4 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
fsumvma.5 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
fsumvma.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumvma.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma (𝜑 → Σ𝑥𝐴 𝐵 = Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑘,𝐾,𝑥   𝜑,𝑘,𝑝,𝑥   𝐵,𝑘,𝑝   𝑃,𝑘,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘,𝑝)   𝐾(𝑝)

Proof of Theorem fsumvma
Dummy variables 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6678 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) ∈ V)
2 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩))
3 df-ov 7151 . . . . . . . 8 (𝑝𝑘) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩)
42, 3syl6eqr 2872 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) = (𝑝𝑘))
54eqeq2d 2830 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑥 = (↑‘𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
65biimpa 479 . . . . 5 ((𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ 𝑥 = (↑‘𝑧)) → 𝑥 = (𝑝𝑘))
7 fsumvma.1 . . . . 5 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
86, 7syl 17 . . . 4 ((𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ 𝑥 = (↑‘𝑧)) → 𝐵 = 𝐶)
91, 8csbied 3917 . . 3 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝐶)
10 fsumvma.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
11 fsumvma.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1211adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ Fin)
13 fsumvma.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
1413biimpd 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
1514impl 458 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
1615simprd 498 . . . . . 6 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
1716ex 415 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾 → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
1815simpld 497 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
1918simpld 497 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑝 ∈ ℙ)
2019adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
2118simprd 498 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ)
2221adantrr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2321ex 415 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾𝑘 ∈ ℕ))
2423ssrdv 3971 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐾 ⊆ ℕ)
2524sselda 3965 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ ℕ)
2625adantrl 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑧 ∈ ℕ)
27 eqid 2819 . . . . . . . 8 𝑝 = 𝑝
28 prmexpb 16054 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ (𝑝 = 𝑝𝑘 = 𝑧)))
2928baibd 542 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 = 𝑝) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3027, 29mpan2 689 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3120, 20, 22, 26, 30syl22anc 836 . . . . . 6 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3231ex 415 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑃) → ((𝑘𝐾𝑧𝐾) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧)))
3317, 32dom2lem 8541 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾 ↦ (𝑝𝑘)):𝐾1-1𝐴)
34 f1fi 8803 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐾 ↦ (𝑝𝑘)):𝐾1-1𝐴) → 𝐾 ∈ Fin)
3512, 33, 34syl2anc 586 . . 3 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐾 ∈ Fin)
367eleq1d 2895 . . . 4 (𝑥 = (𝑝𝑘) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
37 fsumvma.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837ralrimiva 3180 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
3938adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
4013simplbda 502 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
4136, 39, 40rspcdva 3623 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝐶 ∈ ℂ)
429, 10, 35, 41fsum2d 15118 . 2 (𝜑 → Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
43 nfcv 2975 . . . 4 𝑦𝐵
44 nfcsb1v 3905 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
45 csbeq1a 3895 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
4643, 44, 45cbvsumi 15046 . . 3 Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝑦 / 𝑥𝐵
47 csbeq1 3884 . . . 4 (𝑦 = (↑‘𝑧) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
48 snfi 8586 . . . . . . 7 {𝑝} ∈ Fin
49 xpfi 8781 . . . . . . 7 (({𝑝} ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ Fin) → ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5048, 35, 49sylancr 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑃) → ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5150ralrimiva 3180 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
52 iunfi 8804 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Fin ∧ ∀𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin) → 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5310, 51, 52syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
54 fvex 6676 . . . . . . 7 (↑‘𝑎) ∈ V
55542a1i 12 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ V))
56 eliunxp 5701 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↔ ∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)))
5713simprbda 501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
58 opelxp 5584 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
5957, 58sylibr 236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ))
60 eleq1 2898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ↔ ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ)))
6159, 60syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6261impancom 454 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6362expimpd 456 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6463exlimdvv 1929 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6556, 64syl5bi 244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6665ssrdv 3971 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ⊆ (ℙ × ℕ))
6766sseld 3964 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)))
6865, 67anim12d 610 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∧ 𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ))))
69 1st2nd2 7720 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → 𝑎 = ⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩)
7069fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑎) = (↑‘⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩))
71 df-ov 7151 . . . . . . . . . 10 ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = (↑‘⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩)
7270, 71syl6eqr 2872 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑎) = ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)))
73 1st2nd2 7720 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → 𝑏 = ⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩)
7473fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑏) = (↑‘⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩))
75 df-ov 7151 . . . . . . . . . 10 ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) = (↑‘⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩)
7674, 75syl6eqr 2872 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑏) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)))
7772, 76eqeqan12d 2836 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏))))
78 xp1st 7713 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (1st𝑎) ∈ ℙ)
79 xp2nd 7714 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (2nd𝑎) ∈ ℕ)
8078, 79jca 514 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → ((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑎) ∈ ℕ))
81 xp1st 7713 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (1st𝑏) ∈ ℙ)
82 xp2nd 7714 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (2nd𝑏) ∈ ℕ)
8381, 82jca 514 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → ((1st𝑏) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ))
84 prmexpb 16054 . . . . . . . . . 10 ((((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (1st𝑏) ∈ ℙ) ∧ ((2nd𝑎) ∈ ℕ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
8584an4s 658 . . . . . . . . 9 ((((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((1st𝑏) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
8680, 83, 85syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
87 xpopth 7722 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → (((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏)) ↔ 𝑎 = 𝑏))
8877, 86, 873bitrd 307 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
8968, 88syl6 35 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∧ 𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏)))
9055, 89dom2lem 8541 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1→V)
91 f1f1orn 6619 . . . . 5 ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1→V → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1-onto→ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))
9290, 91syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1-onto→ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))
93 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑧 → (↑‘𝑎) = (↑‘𝑧))
94 eqid 2819 . . . . . 6 (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) = (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))
95 fvex 6676 . . . . . 6 (↑‘𝑧) ∈ V
9693, 94, 95fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))‘𝑧) = (↑‘𝑧))
9796adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))‘𝑧) = (↑‘𝑧))
98 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩))
9998, 3syl6eqr 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) = (𝑝𝑘))
10099eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → ((↑‘𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
10140, 100syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
102101impancom 454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
103102expimpd 456 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
104103exlimdvv 1929 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
10556, 104syl5bi 244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
106105imp 409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴)
107106fmpttd 6872 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)⟶𝐴)
108107frnd 6514 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ⊆ 𝐴)
109108sselda 3965 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑦𝐴)
11044nfel1 2992 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
11145eleq1d 2895 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
112110, 111rspc 3609 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
11338, 112mpan9 509 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
114109, 113syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
11547, 53, 92, 97, 114fsumf1o 15072 . . 3 (𝜑 → Σ𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝑦 / 𝑥𝐵 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
11646, 115syl5eq 2866 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
117108sselda 3965 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑥𝐴)
118117, 37syldan 593 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
119 eldif 3944 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))))
12094, 54elrnmpti 5825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ ∃𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)𝑥 = (↑‘𝑎))
12199eqeq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑥 = (↑‘𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
122121rexiunxp 5704 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)𝑥 = (↑‘𝑎) ↔ ∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘))
123120, 122bitri 277 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ ∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘))
124 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → 𝑥 = (𝑝𝑘))
125 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → 𝑥𝐴)
126124, 125eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
12713rbaibd 543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
128127adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
129126, 128syldan 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
130129pm5.32da 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))))
131 ancom 463 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)))
132 ancom 463 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
133130, 131, 1323bitr4g 316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘))))
1341332exbidv 1919 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑘((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘))))
135 r2ex 3301 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
136 r2ex 3301 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
137134, 135, 1363bitr4g 316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
138 fsumvma.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
139138sselda 3965 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
140 isppw2 25684 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Λ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
142137, 141bitr4d 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ (Λ‘𝑥) ≠ 0))
143123, 142syl5bb 285 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ (Λ‘𝑥) ≠ 0))
144143necon2bbid 3057 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Λ‘𝑥) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))))
145144pm5.32da 581 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))))
146 fsumvma.7 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
147146ex 415 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0) → 𝐵 = 0))
148145, 147sylbird 262 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 = 0))
149119, 148syl5bi 244 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 = 0))
150149imp 409 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))) → 𝐵 = 0)
151108, 118, 150, 11fsumss 15074 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝐵)
15242, 116, 1513eqtr2rd 2861 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 𝐵 = Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wex 1774  wcel 2108  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493  csb 3881  cdif 3931  wss 3934  {csn 4559  cop 4565   ciun 4910  cmpt 5137   × cxp 5546  ran crn 5549  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7148  1st c1st 7679  2nd c2nd 7680  Fincfn 8501  cc 10527  0cc0 10529  cn 11630  cexp 13421  Σcsu 15034  cprime 16007  Λcvma 25661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-pc 16166  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-log 25132  df-vma 25667
This theorem is referenced by:  fsumvma2  25782  vmasum  25784
  Copyright terms: Public domain W3C validator