MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma 27257
Description: Rewrite a sum over the von Mangoldt function as a sum over prime powers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma.1 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
fsumvma.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumvma.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
fsumvma.4 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
fsumvma.5 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
fsumvma.6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumvma.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma (𝜑 → Σ𝑥𝐴 𝐵 = Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑘,𝐾,𝑥   𝜑,𝑘,𝑝,𝑥   𝐵,𝑘,𝑝   𝑃,𝑘,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘,𝑝)   𝐾(𝑝)

Proof of Theorem fsumvma
Dummy variables 𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvexd 6921 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) ∈ V)
2 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩))
3 df-ov 7434 . . . . . . . 8 (𝑝𝑘) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩)
42, 3eqtr4di 2795 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) = (𝑝𝑘))
54eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑥 = (↑‘𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
65biimpa 476 . . . . 5 ((𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ 𝑥 = (↑‘𝑧)) → 𝑥 = (𝑝𝑘))
7 fsumvma.1 . . . . 5 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
86, 7syl 17 . . . 4 ((𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ 𝑥 = (↑‘𝑧)) → 𝐵 = 𝐶)
91, 8csbied 3935 . . 3 (𝑧 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝐶)
10 fsumvma.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
11 fsumvma.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ Fin)
13 fsumvma.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
1413biimpd 229 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)))
1514impl 455 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
1615simprd 495 . . . . . 6 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
1716ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾 → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
1815simpld 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
1918simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑝 ∈ ℙ)
2019adantrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
2118simprd 495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ)
2221adantrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2321ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾𝑘 ∈ ℕ))
2423ssrdv 3989 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐾 ⊆ ℕ)
2524sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ 𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ ℕ)
2625adantrl 716 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → 𝑧 ∈ ℕ)
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 𝑝 = 𝑝
28 prmexpb 16756 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ (𝑝 = 𝑝𝑘 = 𝑧)))
2928baibd 539 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 = 𝑝) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3027, 29mpan2 691 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3120, 20, 22, 26, 30syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝜑𝑝𝑃) ∧ (𝑘𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧))
3231ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝑃) → ((𝑘𝐾𝑧𝐾) → ((𝑝𝑘) = (𝑝𝑧) ↔ 𝑘 = 𝑧)))
3317, 32dom2lem 9032 . . . 4 ((𝜑𝑝𝑃) → (𝑘𝐾 ↦ (𝑝𝑘)):𝐾1-1𝐴)
34 f1fi 9352 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑘𝐾 ↦ (𝑝𝑘)):𝐾1-1𝐴) → 𝐾 ∈ Fin)
3512, 33, 34syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝐾 ∈ Fin)
367eleq1d 2826 . . . 4 (𝑥 = (𝑝𝑘) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
37 fsumvma.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
3938adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
4013simplbda 499 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
4136, 39, 40rspcdva 3623 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝐶 ∈ ℂ)
429, 10, 35, 41fsum2d 15807 . 2 (𝜑 → Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
43 csbeq1a 3913 . . . 4 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
44 nfcv 2905 . . . 4 𝑦𝐵
45 nfcsb1v 3923 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
4643, 44, 45cbvsum 15731 . . 3 Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝑦 / 𝑥𝐵
47 csbeq1 3902 . . . 4 (𝑦 = (↑‘𝑧) → 𝑦 / 𝑥𝐵 = (↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
48 snfi 9083 . . . . . . 7 {𝑝} ∈ Fin
49 xpfi 9358 . . . . . . 7 (({𝑝} ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ Fin) → ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5048, 35, 49sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑃) → ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5150ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
52 iunfi 9383 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Fin ∧ ∀𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin) → 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
5310, 51, 52syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∈ Fin)
54 fvex 6919 . . . . . . 7 (↑‘𝑎) ∈ V
55542a1i 12 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ V))
56 eliunxp 5848 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↔ ∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)))
5713simprbda 498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
58 opelxp 5721 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
5957, 58sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ))
60 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ↔ ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∈ (ℙ × ℕ)))
6159, 60syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6261impancom 451 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6362expimpd 453 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6463exlimdvv 1934 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6556, 64biimtrid 242 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → 𝑎 ∈ (ℙ × ℕ)))
6665ssrdv 3989 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ⊆ (ℙ × ℕ))
6766sseld 3982 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)))
6865, 67anim12d 609 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∧ 𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ))))
69 1st2nd2 8053 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → 𝑎 = ⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩)
7069fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑎) = (↑‘⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩))
71 df-ov 7434 . . . . . . . . . 10 ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = (↑‘⟨(1st𝑎), (2nd𝑎)⟩)
7270, 71eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑎) = ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)))
73 1st2nd2 8053 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → 𝑏 = ⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩)
7473fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑏) = (↑‘⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩))
75 df-ov 7434 . . . . . . . . . 10 ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) = (↑‘⟨(1st𝑏), (2nd𝑏)⟩)
7674, 75eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (↑‘𝑏) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)))
7772, 76eqeqan12d 2751 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ ((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏))))
78 xp1st 8046 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (1st𝑎) ∈ ℙ)
79 xp2nd 8047 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → (2nd𝑎) ∈ ℕ)
8078, 79jca 511 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) → ((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑎) ∈ ℕ))
81 xp1st 8046 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (1st𝑏) ∈ ℙ)
82 xp2nd 8047 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → (2nd𝑏) ∈ ℕ)
8381, 82jca 511 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (ℙ × ℕ) → ((1st𝑏) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ))
84 prmexpb 16756 . . . . . . . . . 10 ((((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (1st𝑏) ∈ ℙ) ∧ ((2nd𝑎) ∈ ℕ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
8584an4s 660 . . . . . . . . 9 ((((1st𝑎) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑎) ∈ ℕ) ∧ ((1st𝑏) ∈ ℙ ∧ (2nd𝑏) ∈ ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
8680, 83, 85syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → (((1st𝑎)↑(2nd𝑎)) = ((1st𝑏)↑(2nd𝑏)) ↔ ((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏))))
87 xpopth 8055 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → (((1st𝑎) = (1st𝑏) ∧ (2nd𝑎) = (2nd𝑏)) ↔ 𝑎 = 𝑏))
8877, 86, 873bitrd 305 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℙ × ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℙ × ℕ)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
8968, 88syl6 35 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ∧ 𝑏 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → ((↑‘𝑎) = (↑‘𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏)))
9055, 89dom2lem 9032 . . . . 5 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1→V)
91 f1f1orn 6859 . . . . 5 ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1→V → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1-onto→ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))
9290, 91syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)–1-1-onto→ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))
93 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑧 → (↑‘𝑎) = (↑‘𝑧))
94 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) = (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))
95 fvex 6919 . . . . . 6 (↑‘𝑧) ∈ V
9693, 94, 95fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))‘𝑧) = (↑‘𝑧))
9796adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → ((𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))‘𝑧) = (↑‘𝑧))
98 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) = (↑‘⟨𝑝, 𝑘⟩))
9998, 3eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) = (𝑝𝑘))
10099eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → ((↑‘𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴))
10140, 100syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
102101impancom 451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
103102expimpd 453 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
104103exlimdvv 1934 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑝𝑘(𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
10556, 104biimtrid 242 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴))
106105imp 406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)) → (↑‘𝑎) ∈ 𝐴)
107106fmpttd 7135 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)): 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)⟶𝐴)
108107frnd 6744 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ⊆ 𝐴)
109108sselda 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑦𝐴)
11045nfel1 2922 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
11143eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
112110, 111rspc 3610 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
11338, 112mpan9 506 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
114109, 113syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
11547, 53, 92, 97, 114fsumf1o 15759 . . 3 (𝜑 → Σ𝑦 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝑦 / 𝑥𝐵 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
11646, 115eqtrid 2789 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑧 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)(↑‘𝑧) / 𝑥𝐵)
117108sselda 3983 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝑥𝐴)
118117, 37syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 ∈ ℂ)
119 eldif 3961 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))))
12094, 54elrnmpti 5973 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ ∃𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)𝑥 = (↑‘𝑎))
12199eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ⟨𝑝, 𝑘⟩ → (𝑥 = (↑‘𝑎) ↔ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
122121rexiunxp 5851 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾)𝑥 = (↑‘𝑎) ↔ ∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘))
123120, 122bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ ∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘))
124 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → 𝑥 = (𝑝𝑘))
125 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → 𝑥𝐴)
126124, 125eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → (𝑝𝑘) ∈ 𝐴)
12713rbaibd 540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
128127adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ∈ 𝐴) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
129126, 128syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) → ((𝑝𝑃𝑘𝐾) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
130129pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))))
131 ancom 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑃𝑘𝐾)))
132 ancom 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ (𝑥 = (𝑝𝑘) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)))
133130, 131, 1323bitr4g 314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘))))
1341332exbidv 1924 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑘((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘))))
135 r2ex 3196 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝𝑃𝑘𝐾) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
136 r2ex 3196 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝𝑘((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
137134, 135, 1363bitr4g 314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
138 fsumvma.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
139138sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℕ)
140 isppw2 27158 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Λ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑝𝑘)))
142137, 141bitr4d 282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑝𝑃𝑘𝐾 𝑥 = (𝑝𝑘) ↔ (Λ‘𝑥) ≠ 0))
143123, 142bitrid 283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)) ↔ (Λ‘𝑥) ≠ 0))
144143necon2bbid 2984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((Λ‘𝑥) = 0 ↔ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))))
145144pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))))
146 fsumvma.7 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
147146ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ (Λ‘𝑥) = 0) → 𝐵 = 0))
148145, 147sylbird 260 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 = 0))
149119, 148biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))) → 𝐵 = 0))
150149imp 406 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎)))) → 𝐵 = 0)
151108, 118, 150, 11fsumss 15761 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ ran (𝑎 𝑝𝑃 ({𝑝} × 𝐾) ↦ (↑‘𝑎))𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝐵)
15242, 116, 1513eqtr2rd 2784 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐴 𝐵 = Σ𝑝𝑃 Σ𝑘𝐾 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  csb 3899  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  cop 4632   ciun 4991  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  Fincfn 8985  cc 11153  0cc0 11155  cn 12266  cexp 14102  Σcsu 15722  cprime 16708  Λcvma 27135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-vma 27141
This theorem is referenced by:  fsumvma2  27258  vmasum  27260
  Copyright terms: Public domain W3C validator