Theorem sumsnd 45271

Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 15669. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐵)
sumsnd.2	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sumsnd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
sumsnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
sumsnd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sumsnd	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sumsnd

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3863	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
2		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
3		nfcsb1v 3873	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
4	1, 2, 3	cbvsum 15618	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3852	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 12156	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
8		sumsnd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
9		f1osng 6816	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10	6, 8, 9	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11		1z 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13482	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13		f1oeq2 6763	. . . . . 6 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	10, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16		elsni 4597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
18	17	csbeq1d 3853	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		sumsnd.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
20		sumsnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		sumsnd.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
22	19, 20, 8, 21	csbiedf 3879	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24		sumsnd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	23, 25	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	18, 26	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
28	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
29		elfz1eq 13451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
30	29	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
31		fvsng 7126	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	6, 8, 31	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
33	30, 32	sylan9eqr 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
34	33	csbeq1d 3853	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
35	29	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
36		fvsng 7126	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	6, 24, 36	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	35, 37	sylan9eqr 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
39	28, 34, 38	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
40	5, 7, 15, 27, 39	fsum 15643	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
41	4, 40	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
42	11, 37	seq1i 13938	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
43	41, 42	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  ⦋csb 3849  {csn 4580  ⟨cop 4586  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ...cfz 13423  seqcseq 13924  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  sumpair  45280  dvnmul  46187  sge0sn  46623  hoidmvlelem3  46841