Theorem sumsnd 45386

Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 15681. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐵)
sumsnd.2	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sumsnd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
sumsnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
sumsnd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sumsnd	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sumsnd

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3865	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
2		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
3		nfcsb1v 3875	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
4	1, 2, 3	cbvsum 15630	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3854	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 12168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
8		sumsnd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
9		f1osng 6824	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10	6, 8, 9	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11		1z 12533	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13494	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13		f1oeq2 6771	. . . . . 6 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	10, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16		elsni 4599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
18	17	csbeq1d 3855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		sumsnd.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
20		sumsnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		sumsnd.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
22	19, 20, 8, 21	csbiedf 3881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24		sumsnd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	23, 25	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	18, 26	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
28	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
29		elfz1eq 13463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
30	29	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
31		fvsng 7136	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	6, 8, 31	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
33	30, 32	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
34	33	csbeq1d 3855	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
35	29	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
36		fvsng 7136	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	6, 24, 36	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	35, 37	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
39	28, 34, 38	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
40	5, 7, 15, 27, 39	fsum 15655	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
41	4, 40	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
42	11, 37	seq1i 13950	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
43	41, 42	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ⦋csb 3851  {csn 4582  ⟨cop 4588  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ...cfz 13435  seqcseq 13936  Σcsu 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  sumpair  45395  dvnmul  46301  sge0sn  46737  hoidmvlelem3  46955