Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsnd 44964
Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 15779. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnd.1 (𝜑𝑘𝐵)
sumsnd.2 𝑘𝜑
sumsnd.3 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
sumsnd.4 (𝜑𝑀𝑉)
sumsnd.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sumsnd (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sumsnd
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3922 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
2 nfcv 2903 . . . 4 𝑚𝐴
3 nfcsb1v 3933 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
41, 2, 3cbvsum 15728 . . 3 Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3911 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 12275 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
8 sumsnd.4 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑉)
9 f1osng 6890 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
106, 8, 9sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11 1z 12645 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
12 fzsn 13603 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13 f1oeq2 6838 . . . . . 6 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
1510, 14sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16 elsni 4648 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
1817csbeq1d 3912 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 sumsnd.2 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
20 sumsnd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑘𝐵)
21 sumsnd.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
2219, 20, 8, 21csbiedf 3939 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
24 sumsnd.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2623, 25eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2718, 26eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2822adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
29 elfz1eq 13572 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
3029fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
31 fvsng 7200 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
326, 8, 31sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3330, 32sylan9eqr 2797 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
3433csbeq1d 3912 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
3529fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
36 fvsng 7200 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
376, 24, 36sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3835, 37sylan9eqr 2797 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
3928, 34, 383eqtr4rd 2786 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
405, 7, 15, 27, 39fsum 15753 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
414, 40eqtrid 2787 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
4211, 37seq1i 14053 . 2 (𝜑 → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
4341, 42eqtrd 2775 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  csb 3908  {csn 4631  cop 4637  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156  cn 12264  cz 12611  ...cfz 13544  seqcseq 14039  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  sumpair  44973  dvnmul  45899  sge0sn  46335  hoidmvlelem3  46553
  Copyright terms: Public domain W3C validator