Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsnd 39676
Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 14694. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnd.1 (𝜑𝑘𝐵)
sumsnd.2 𝑘𝜑
sumsnd.3 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
sumsnd.4 (𝜑𝑀𝑉)
sumsnd.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sumsnd (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sumsnd
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2948 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3744 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3737 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 14646 . . 3 Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3731 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 11312 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
8 sumsnd.4 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑉)
9 f1osng 6389 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
106, 8, 9sylancr 577 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11 1z 11669 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
12 fzsn 12602 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13 f1oeq2 6340 . . . . . 6 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
1510, 14sylibr 225 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16 elsni 4387 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
1716adantl 469 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
1817csbeq1d 3735 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 sumsnd.2 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
20 sumsnd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑘𝐵)
21 sumsnd.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
2219, 20, 8, 21csbiedf 3749 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
24 sumsnd.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2524adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2623, 25eqeltrd 2885 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2718, 26eqeltrd 2885 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2822adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
29 elfz1eq 12571 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
3029fveq2d 6408 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
31 fvsng 6668 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
326, 8, 31sylancr 577 . . . . . . 7 (𝜑 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3330, 32sylan9eqr 2862 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
3433csbeq1d 3735 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
3529fveq2d 6408 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
36 fvsng 6668 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
376, 24, 36sylancr 577 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3835, 37sylan9eqr 2862 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
3928, 34, 383eqtr4rd 2851 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
405, 7, 15, 27, 39fsum 14670 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
414, 40syl5eq 2852 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
4211, 37seq1i 13034 . 2 (𝜑 → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
4341, 42eqtrd 2840 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wnf 1863  wcel 2156  wnfc 2935  csb 3728  {csn 4370  cop 4376  1-1-ontowf1o 6096  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  1c1 10218   + caddc 10220  cn 11301  cz 11639  ...cfz 12545  seqcseq 13020  Σcsu 14635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-oi 8650  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636
This theorem is referenced by:  sumpair  39685  dvnmul  40635  sge0sn  41072  hoidmvlelem3  41290
  Copyright terms: Public domain W3C validator