Theorem sumsnd 45475

Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 15699. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnd.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐵)
sumsnd.2	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sumsnd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
sumsnd.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
sumsnd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sumsnd	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sumsnd

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3852	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
2		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
3		nfcsb1v 3862	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
4	1, 2, 3	cbvsum 15648	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3841	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 12176	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
8		sumsnd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
9		f1osng 6816	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10	6, 8, 9	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11		1z 12548	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 13511	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13		f1oeq2 6763	. . . . . 6 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	10, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16		elsni 4585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
18	17	csbeq1d 3842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		sumsnd.2	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
20		sumsnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		sumsnd.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
22	19, 20, 8, 21	csbiedf 3868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24		sumsnd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	23, 25	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	18, 26	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
28	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
29		elfz1eq 13480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
30	29	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
31		fvsng 7128	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	6, 8, 31	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
33	30, 32	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
34	33	csbeq1d 3842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
35	29	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
36		fvsng 7128	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	6, 24, 36	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	35, 37	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
39	28, 34, 38	3eqtr4rd 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
40	5, 7, 15, 27, 39	fsum 15673	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
41	4, 40	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
42	11, 37	seq1i 13968	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
43	41, 42	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ⦋csb 3838  {csn 4568  ⟨cop 4574  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ...cfz 13452  seqcseq 13954  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  sumpair  45484  dvnmul  46389  sge0sn  46825  hoidmvlelem3  47043