Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsnd 39701
Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 14682. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnd.1 (𝜑𝑘𝐵)
sumsnd.2 𝑘𝜑
sumsnd.3 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
sumsnd.4 (𝜑𝑀𝑉)
sumsnd.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sumsnd (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sumsnd
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2912 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3696 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3689 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 14634 . . 3 Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3683 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 11232 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
8 sumsnd.4 . . . . . 6 (𝜑𝑀𝑉)
9 f1osng 6318 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
106, 8, 9sylancr 567 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11 1z 11608 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
12 fzsn 12589 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13 f1oeq2 6269 . . . . . 6 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
1510, 14sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16 elsni 4331 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
1716adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
1817csbeq1d 3687 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 sumsnd.2 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
20 sumsnd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑘𝐵)
21 sumsnd.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
2219, 20, 8, 21csbiedf 3701 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
24 sumsnd.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2524adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2623, 25eqeltrd 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2718, 26eqeltrd 2849 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2822adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
29 elfz1eq 12558 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
3029fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
31 fvsng 6590 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
326, 8, 31sylancr 567 . . . . . . 7 (𝜑 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3330, 32sylan9eqr 2826 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
3433csbeq1d 3687 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
3529fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
36 fvsng 6590 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
376, 24, 36sylancr 567 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3835, 37sylan9eqr 2826 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
3928, 34, 383eqtr4rd 2815 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
405, 7, 15, 27, 39fsum 14658 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
414, 40syl5eq 2816 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
4211, 37seq1i 13021 . 2 (𝜑 → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
4341, 42eqtrd 2804 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wnf 1855  wcel 2144  wnfc 2899  csb 3680  {csn 4314  cop 4320  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  1c1 10138   + caddc 10140  cn 11221  cz 11578  ...cfz 12532  seqcseq 13007  Σcsu 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624
This theorem is referenced by:  sumpair  39710  dvnmul  40670  sge0sn  41107  hoidmvlelem3  41325
  Copyright terms: Public domain W3C validator