MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovoliun2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovoliun2 25455
Description: The Lebesgue outer measure function is countably sub-additive. (This version is a little easier to read, but does not allow infinite values like ovoliun 25454.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t 𝑇 = seq1( + , 𝐺)
ovoliun.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝐴))
ovoliun.a ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovoliun.v ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
ovoliun2.t (𝜑𝑇 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
ovoliun2 (𝜑 → (vol*‘ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴))
Distinct variable group:   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem ovoliun2
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovoliun.t . . 3 𝑇 = seq1( + , 𝐺)
2 ovoliun.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝐴))
3 ovoliun.a . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 ovoliun.v . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
51, 2, 3, 4ovoliun 25454 . 2 (𝜑 → (vol*‘ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
6 nnuz 12903 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 12631 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
8 fvex 6915 . . . . . . . . . . 11 (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V
9 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚(vol*‘𝐴)
10 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛vol*
11 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
1210, 11nffv 6912 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴)
13 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
1413fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (vol*‘𝐴) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
159, 12, 14cbvmpt 5263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝐴)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
162, 15eqtri 2756 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
1716fvmpt2 7021 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V) → (𝐺𝑚) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
188, 17mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐺𝑚) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
1918adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐺𝑚) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
204ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
219nfel1 2916 . . . . . . . . . . . 12 𝑚(vol*‘𝐴) ∈ ℝ
2212nfel1 2916 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ
2314eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ))
2421, 22, 23cbvralw 3301 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
2520, 24sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
2625r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
2719, 26eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐺𝑚) ∈ ℝ)
286, 7, 27serfre 14036 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
291feq1i 6718 . . . . . . 7 (𝑇:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
3028, 29sylibr 233 . . . . . 6 (𝜑𝑇:ℕ⟶ℝ)
3130frnd 6735 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
32 1nn 12261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
3330fdmd 6738 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
3432, 33eleqtrrid 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
3534ne0d 4339 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
36 dm0rn0 5931 . . . . . . 7 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
3736necon3bii 2990 . . . . . 6 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
3835, 37sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
39 ovoliun2.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ dom ⇝ )
401, 39eqeltrrid 2834 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
416, 7, 19, 26, 40isumrecl 15751 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
42 elfznn 13570 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑘) → 𝑚 ∈ ℕ)
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → 𝑚 ∈ ℕ)
4443, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺𝑚) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4645, 6eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
47 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
4847, 42, 26syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
4948recnd 11280 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
5044, 46, 49fsumser 15716 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑘))
511fveq1i 6903 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝑘) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑘)
5250, 51eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑇𝑘))
53 fzfid 13978 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑘) ∈ Fin)
54 fz1ssnn 13572 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑘) ⊆ ℕ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑘) ⊆ ℕ)
563ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ ℝ)
57 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 𝐴 ⊆ ℝ
58 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛
5911, 58nfss 3974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ
6013sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ))
6157, 59, 60cbvralw 3301 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ)
6256, 61sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ)
6362r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ)
64 ovolge0 25430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
666, 7, 53, 55, 19, 26, 65, 40isumless 15831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
6766adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
6852, 67eqbrtrrd 5176 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇𝑘) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
6968ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
70 brralrspcev 5212 . . . . . . 7 ((Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥)
7141, 69, 70syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥)
7230ffnd 6728 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 Fn ℕ)
73 breq1 5155 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑇𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥))
7473ralrn 7103 . . . . . . . 8 (𝑇 Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥))
7572, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥))
7675rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥))
7771, 76mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥)
78 supxrre 13346 . . . . 5 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑇, ℝ, < ))
7931, 38, 77, 78syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑇, ℝ, < ))
806, 1, 7, 19, 26, 65, 71isumsup 15833 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) = sup(ran 𝑇, ℝ, < ))
8179, 80eqtr4d 2771 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) = Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
829, 12, 14cbvsumi 15683 . . 3 Σ𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴) = Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴)
8381, 82eqtr4di 2786 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) = Σ𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴))
845, 83breqtrd 5178 1 (𝜑 → (vol*‘ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3473  csb 3894  wss 3949  c0 4326   ciun 5000   class class class wbr 5152  cmpt 5235  dom cdm 5682  ran crn 5683   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287  cn 12250  cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14006  cli 15468  Σcsu 15672  vol*covol 25411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ovol 25413
This theorem is referenced by:  ovoliunnul  25456  vitalilem5  25561
  Copyright terms: Public domain W3C validator