MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovoliun2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovoliun2 25554
Description: The Lebesgue outer measure function is countably sub-additive. (This version is a little easier to read, but does not allow infinite values like ovoliun 25553.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t 𝑇 = seq1( + , 𝐺)
ovoliun.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝐴))
ovoliun.a ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
ovoliun.v ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
ovoliun2.t (𝜑𝑇 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
ovoliun2 (𝜑 → (vol*‘ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴))
Distinct variable group:   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem ovoliun2
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovoliun.t . . 3 𝑇 = seq1( + , 𝐺)
2 ovoliun.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝐴))
3 ovoliun.a . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4 ovoliun.v . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
51, 2, 3, 4ovoliun 25553 . 2 (𝜑 → (vol*‘ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
6 nnuz 12918 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 12645 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
8 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V
9 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚(vol*‘𝐴)
10 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛vol*
11 nfcsb1v 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
1210, 11nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴)
13 csbeq1a 3921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
1413fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (vol*‘𝐴) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
159, 12, 14cbvmpt 5258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝐴)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
162, 15eqtri 2762 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
1716fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V) → (𝐺𝑚) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
188, 17mpan2 691 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐺𝑚) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
1918adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐺𝑚) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
204ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
219nfel1 2919 . . . . . . . . . . . 12 𝑚(vol*‘𝐴) ∈ ℝ
2212nfel1 2919 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ
2314eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ))
2421, 22, 23cbvralw 3303 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
2520, 24sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
2625r19.21bi 3248 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
2719, 26eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐺𝑚) ∈ ℝ)
286, 7, 27serfre 14068 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
291feq1i 6727 . . . . . . 7 (𝑇:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℝ)
3028, 29sylibr 234 . . . . . 6 (𝜑𝑇:ℕ⟶ℝ)
3130frnd 6744 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑇 ⊆ ℝ)
32 1nn 12274 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
3330fdmd 6746 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑇 = ℕ)
3432, 33eleqtrrid 2845 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ dom 𝑇)
3534ne0d 4347 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑇 ≠ ∅)
36 dm0rn0 5937 . . . . . . 7 (dom 𝑇 = ∅ ↔ ran 𝑇 = ∅)
3736necon3bii 2990 . . . . . 6 (dom 𝑇 ≠ ∅ ↔ ran 𝑇 ≠ ∅)
3835, 37sylib 218 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝑇 ≠ ∅)
39 ovoliun2.t . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ dom ⇝ )
401, 39eqeltrrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
416, 7, 19, 26, 40isumrecl 15797 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
42 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑘) → 𝑚 ∈ ℕ)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → 𝑚 ∈ ℕ)
4443, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (𝐺𝑚) = (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4645, 6eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
47 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
4847, 42, 26syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ)
4948recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℂ)
5044, 46, 49fsumser 15762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑘))
511fveq1i 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝑘) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑘)
5250, 51eqtr4di 2792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑇𝑘))
53 fzfid 14010 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑘) ∈ Fin)
54 fz1ssnn 13591 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑘) ⊆ ℕ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑘) ⊆ ℕ)
563ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ ℝ)
57 nfv 1911 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 𝐴 ⊆ ℝ
58 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛
5911, 58nfss 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ
6013sseq1d 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ))
6157, 59, 60cbvralw 3303 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ)
6256, 61sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ)
6362r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ)
64 ovolge0 25529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 / 𝑛𝐴 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
666, 7, 53, 55, 19, 26, 65, 40isumless 15877 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
6766adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
6852, 67eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇𝑘) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
6968ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
70 brralrspcev 5207 . . . . . . 7 ((Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥)
7141, 69, 70syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥)
7230ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 Fn ℕ)
73 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑇𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥))
7473ralrn 7107 . . . . . . . 8 (𝑇 Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥))
7572, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥))
7675rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑇𝑘) ≤ 𝑥))
7771, 76mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥)
78 supxrre 13365 . . . . 5 ((ran 𝑇 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇 𝑧𝑥) → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑇, ℝ, < ))
7931, 38, 77, 78syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑇, ℝ, < ))
806, 1, 7, 19, 26, 65, 71isumsup 15879 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴) = sup(ran 𝑇, ℝ, < ))
8179, 80eqtr4d 2777 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) = Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴))
8214, 9, 12cbvsum 15727 . . 3 Σ𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴) = Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘𝑚 / 𝑛𝐴)
8381, 82eqtr4di 2792 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) = Σ𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴))
845, 83breqtrd 5173 1 (𝜑 → (vol*‘ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴) ≤ Σ𝑛 ∈ ℕ (vol*‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  csb 3907  wss 3962  c0 4338   ciun 4995   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  supcsup 9477  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  cuz 12875  ...cfz 13543  seqcseq 14038  cli 15516  Σcsu 15718  vol*covol 25510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ovol 25512
This theorem is referenced by:  ovoliunnul  25555  vitalilem5  25660
  Copyright terms: Public domain W3C validator