MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdscom 26678
Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 26677. Note that ๐ด depends on both ๐‘— and ๐‘˜. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
fsumdvdscom.2 (๐‘— = (๐‘˜ ยท ๐‘š) โ†’ ๐ด = ๐ต)
fsumdvdscom.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—})) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}๐ต)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š   ๐ต,๐‘—   ๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘—,๐‘˜)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . . 3 โ„ฒ๐‘ขฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด
2 nfcv 2903 . . . 4 โ„ฒ๐‘—{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}
3 nfcsb1v 3917 . . . 4 โ„ฒ๐‘—โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด
42, 3nfsum 15633 . . 3 โ„ฒ๐‘—ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด
5 breq2 5151 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘— โ†” ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข))
65rabbidv 3440 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ข โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข})
7 csbeq1a 3906 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ข โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด)
87adantr 481 . . . 4 ((๐‘— = ๐‘ข โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}) โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด)
96, 8sumeq12dv 15648 . . 3 (๐‘— = ๐‘ข โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด)
101, 4, 9cbvsumi 15639 . 2 ฮฃ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด = ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด
11 breq2 5151 . . . . . 6 (๐‘ข = (๐‘ / ๐‘ฃ) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข โ†” ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)))
1211rabbidv 3440 . . . . 5 (๐‘ข = (๐‘ / ๐‘ฃ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)})
13 csbeq1 3895 . . . . . 6 (๐‘ข = (๐‘ / ๐‘ฃ) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด = โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด)
1413adantr 481 . . . . 5 ((๐‘ข = (๐‘ / ๐‘ฃ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด = โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด)
1512, 14sumeq12dv 15648 . . . 4 (๐‘ข = (๐‘ / ๐‘ฃ) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด)
16 fzfid 13934 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
18 dvdsssfz1 16257 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โŠ† (1...๐‘))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โŠ† (1...๐‘))
2016, 19ssfid 9263 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆˆ Fin)
21 eqid 2732 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}
22 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ง)) = (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ง))
2321, 22dvdsflip 16256 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ง)):{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
2417, 23syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ง)):{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
25 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘ / ๐‘ง) = (๐‘ / ๐‘ฃ))
26 ovex 7438 . . . . . 6 (๐‘ / ๐‘ง) โˆˆ V
2725, 22, 26fvmpt3i 7000 . . . . 5 (๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ ((๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ง))โ€˜๐‘ฃ) = (๐‘ / ๐‘ฃ))
2827adantl 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†ฆ (๐‘ / ๐‘ง))โ€˜๐‘ฃ) = (๐‘ / ๐‘ฃ))
29 fzfid 13934 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (1...๐‘ข) โˆˆ Fin)
30 ssrab2 4076 . . . . . . . 8 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„•
31 simpr 485 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
3230, 31sselid 3979 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„•)
33 dvdsssfz1 16257 . . . . . . 7 (๐‘ข โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข} โŠ† (1...๐‘ข))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข} โŠ† (1...๐‘ข))
3529, 34ssfid 9263 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข} โˆˆ Fin)
36 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—})) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3736ralrimivva 3200 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด โˆˆ โ„‚)
38 nfv 1917 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘ขโˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด โˆˆ โ„‚
393nfel1 2919 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘—โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
402, 39nfralw 3308 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘—โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
417eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘ข โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
426, 41raleqbidv 3342 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘ข โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
4338, 40, 42cbvralw 3303 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4437, 43sylib 217 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4544r19.21bi 3248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4645r19.21bi 3248 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}) โ†’ โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4735, 46fsumcl 15675 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
4815, 20, 24, 28, 47fsumf1o 15665 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด = ฮฃ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด)
4913eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (๐‘ข = (๐‘ / ๐‘ฃ) โ†’ (โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
5012, 49raleqbidv 3342 . . . . . . 7 (๐‘ข = (๐‘ / ๐‘ฃ) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
5144adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
52 dvdsdivcl 16255 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฃ) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
5317, 52sylan 580 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฃ) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
5450, 51, 53rspcdva 3613 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
5554r19.21bi 3248 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)}) โ†’ โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
5655anasss 467 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)})) โ†’ โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
5717, 56fsumdvdsdiag 26677 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด)
58 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฃ) = (๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)))
5958csbeq1d 3896 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š) โ†’ โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด = โฆ‹(๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)) / ๐‘—โฆŒ๐ด)
60 fzfid 13934 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (1...(๐‘ / ๐‘˜)) โˆˆ Fin)
61 dvdsdivcl 16255 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
6230, 61sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
6317, 62sylan 580 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
64 dvdsssfz1 16257 . . . . . . . 8 ((๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โŠ† (1...(๐‘ / ๐‘˜)))
6563, 64syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โŠ† (1...(๐‘ / ๐‘˜)))
6660, 65ssfid 9263 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โˆˆ Fin)
67 eqid 2732 . . . . . . . 8 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} = {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}
68 eqid 2732 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โ†ฆ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘ง)) = (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โ†ฆ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘ง))
6967, 68dvdsflip 16256 . . . . . . 7 ((๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โ†ฆ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘ง)):{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)})
7063, 69syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โ†ฆ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘ง)):{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)})
71 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘š โ†’ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘ง) = ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š))
72 ovex 7438 . . . . . . . 8 ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘ง) โˆˆ V
7371, 68, 72fvmpt3i 7000 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โ†’ ((๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โ†ฆ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘ง))โ€˜๐‘š) = ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š))
7473adantl 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โ†ฆ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘ง))โ€˜๐‘š) = ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š))
7517fsumdvdsdiaglem 26676 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)})))
7656ex 413 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฃ)}) โ†’ โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
7775, 76syld 47 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
7877impl 456 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
7959, 66, 70, 74, 78fsumf1o 15665 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด = ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}โฆ‹(๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)) / ๐‘—โฆŒ๐ด)
80 ovexd 7440 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)) โˆˆ V)
81 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
82 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
8381, 82jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0))
8417, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0))
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0))
8685simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
87 elrabi 3676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
90 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
91 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
9290, 91jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0))
9389, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0))
94 elrabi 3676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)} โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
96 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
97 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โ‰  0)
9896, 97jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โ‰  0))
9995, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โ‰  0))
100 divdiv1 11921 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š) = (๐‘ / (๐‘˜ ยท ๐‘š)))
10186, 93, 99, 100syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š) = (๐‘ / (๐‘˜ ยท ๐‘š)))
102101oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)) = (๐‘ / (๐‘ / (๐‘˜ ยท ๐‘š))))
103 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„•)
10488, 94, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„•)
105 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
106 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘š) โ‰  0)
107105, 106jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘š) โ‰  0))
108104, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘š) โ‰  0))
109 ddcan 11924 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ((๐‘˜ ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘š) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ / (๐‘ / (๐‘˜ ยท ๐‘š))) = (๐‘˜ ยท ๐‘š))
11085, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘ / (๐‘ / (๐‘˜ ยท ๐‘š))) = (๐‘˜ ยท ๐‘š))
111102, 110eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)) = (๐‘˜ ยท ๐‘š))
112111eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ (๐‘— = (๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)) โ†” ๐‘— = (๐‘˜ ยท ๐‘š)))
113112biimpa 477 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โˆง ๐‘— = (๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š))) โ†’ ๐‘— = (๐‘˜ ยท ๐‘š))
114 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8 (๐‘— = (๐‘˜ ยท ๐‘š) โ†’ ๐ด = ๐ต)
115113, 114syl 17 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โˆง ๐‘— = (๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š))) โ†’ ๐ด = ๐ต)
11680, 115csbied 3930 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}) โ†’ โฆ‹(๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)) / ๐‘—โฆŒ๐ด = ๐ต)
117116sumeq2dv 15645 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}โฆ‹(๐‘ / ((๐‘ / ๐‘˜) / ๐‘š)) / ๐‘—โฆŒ๐ด = ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}๐ต)
11879, 117eqtrd 2772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด = ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}๐ต)
119118sumeq2dv 15645 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘ฃ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}โฆ‹(๐‘ / ๐‘ฃ) / ๐‘—โฆŒ๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}๐ต)
12048, 57, 1193eqtrd 2776 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ข}โฆ‹๐‘ข / ๐‘—โฆŒ๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}๐ต)
12110, 120eqtrid 2784 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘—}๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘š โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  โฆ‹csb 3892   โŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6539  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  ...cfz 13480  ฮฃcsu 15628   โˆฅ cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  logsqvma  27034
  Copyright terms: Public domain W3C validator