MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdscom 27228
Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 27227. Note that 𝐴 depends on both 𝑗 and 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fsumdvdscom.2 (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
fsumdvdscom.3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5147 . . . . 5 (𝑗 = 𝑢 → (𝑥𝑗𝑥𝑢))
21rabbidv 3444 . . . 4 (𝑗 = 𝑢 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢})
3 csbeq1a 3913 . . . . 5 (𝑗 = 𝑢𝐴 = 𝑢 / 𝑗𝐴)
43adantr 480 . . . 4 ((𝑗 = 𝑢𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}) → 𝐴 = 𝑢 / 𝑗𝐴)
52, 4sumeq12dv 15742 . . 3 (𝑗 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴)
6 nfcv 2905 . . 3 𝑢Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴
7 nfcv 2905 . . . 4 𝑗{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}
8 nfcsb1v 3923 . . . 4 𝑗𝑢 / 𝑗𝐴
97, 8nfsum 15727 . . 3 𝑗Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴
105, 6, 9cbvsum 15731 . 2 Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴
11 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑥𝑢𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)))
1211rabbidv 3444 . . . . 5 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})
13 csbeq1 3902 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → 𝑢 / 𝑗𝐴 = (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝑢 = (𝑁 / 𝑣) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}) → 𝑢 / 𝑗𝐴 = (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
1512, 14sumeq12dv 15742 . . . 4 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
16 fzfid 14014 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
18 dvdsssfz1 16355 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
2016, 19ssfid 9301 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
21 eqid 2737 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
22 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
2321, 22dvdsflip 16354 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
2417, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
25 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑣 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑣))
26 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑁 / 𝑧) ∈ V
2725, 22, 26fvmpt3i 7021 . . . . 5 (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
2827adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
29 fzfid 14014 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...𝑢) ∈ Fin)
30 ssrab2 4080 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
31 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
3230, 31sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
33 dvdsssfz1 16355 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ⊆ (1...𝑢))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ⊆ (1...𝑢))
3529, 34ssfid 9301 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ∈ Fin)
36 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
3736ralrimivva 3202 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ)
38 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑢𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ
398nfel1 2922 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
407, 39nfralw 3311 . . . . . . . . 9 𝑗𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
413eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑢 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
422, 41raleqbidv 3346 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑢 → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
4338, 40, 42cbvralw 3306 . . . . . . . 8 (∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4437, 43sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4544r19.21bi 3251 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4645r19.21bi 3251 . . . . 5 (((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}) → 𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4735, 46fsumcl 15769 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4815, 20, 24, 28, 47fsumf1o 15759 . . 3 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
4913eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
5012, 49raleqbidv 3346 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
5144adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
52 dvdsdivcl 16353 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
5317, 52sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
5450, 51, 53rspcdva 3623 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5554r19.21bi 3251 . . . . 5 (((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5655anasss 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5717, 56fsumdvdsdiag 27227 . . 3 (𝜑 → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
58 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)))
5958csbeq1d 3903 . . . . . 6 (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴)
60 fzfid 14014 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑘)) ∈ Fin)
61 dvdsdivcl 16353 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
6230, 61sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
6317, 62sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
64 dvdsssfz1 16355 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
6563, 64syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
6660, 65ssfid 9301 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ∈ Fin)
67 eqid 2737 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}
68 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))
6967, 68dvdsflip 16354 . . . . . . 7 ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
7063, 69syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
71 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑚 → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
72 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) ∈ V
7371, 68, 72fvmpt3i 7021 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
7473adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
7517fsumdvdsdiaglem 27226 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})))
7656ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
7775, 76syld 47 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
7877impl 455 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
7959, 66, 70, 74, 78fsumf1o 15759 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴)
80 ovexd 7466 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ∈ V)
81 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8381, 82jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8417, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8584ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8685simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑁 ∈ ℂ)
87 elrabi 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → 𝑘 ∈ ℕ)
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
90 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
91 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
9290, 91jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
9389, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
94 elrabi 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → 𝑚 ∈ ℕ)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑚 ∈ ℕ)
96 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
97 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
9896, 97jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
9995, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
100 divdiv1 11978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
10186, 93, 99, 100syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
102101oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))))
103 nnmulcl 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
10488, 94, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
105 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ)
106 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)
107105, 106jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
108104, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
109 ddcan 11981 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
11085, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
111102, 110eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑘 · 𝑚))
112111eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ↔ 𝑗 = (𝑘 · 𝑚)))
113112biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝑗 = (𝑘 · 𝑚))
114 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
115113, 114syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝐴 = 𝐵)
11680, 115csbied 3935 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
117116sumeq2dv 15738 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
11879, 117eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
119118sumeq2dv 15738 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
12048, 57, 1193eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
12110, 120eqtrid 2789 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  csb 3899  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  cn 12266  ...cfz 13547  Σcsu 15722  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  logsqvma  27586
  Copyright terms: Public domain W3C validator