Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdscom 25862
 Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 25861. Note that 𝐴 depends on both 𝑗 and 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fsumdvdscom.2 (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
fsumdvdscom.3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2920 . . 3 𝑢Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴
2 nfcv 2920 . . . 4 𝑗{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}
3 nfcsb1v 3830 . . . 4 𝑗𝑢 / 𝑗𝐴
42, 3nfsum 15088 . . 3 𝑗Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴
5 breq2 5037 . . . . 5 (𝑗 = 𝑢 → (𝑥𝑗𝑥𝑢))
65rabbidv 3393 . . . 4 (𝑗 = 𝑢 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢})
7 csbeq1a 3820 . . . . 5 (𝑗 = 𝑢𝐴 = 𝑢 / 𝑗𝐴)
87adantr 485 . . . 4 ((𝑗 = 𝑢𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}) → 𝐴 = 𝑢 / 𝑗𝐴)
96, 8sumeq12dv 15104 . . 3 (𝑗 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴)
101, 4, 9cbvsumi 15095 . 2 Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴
11 breq2 5037 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑥𝑢𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)))
1211rabbidv 3393 . . . . 5 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})
13 csbeq1 3809 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → 𝑢 / 𝑗𝐴 = (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
1413adantr 485 . . . . 5 ((𝑢 = (𝑁 / 𝑣) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}) → 𝑢 / 𝑗𝐴 = (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
1512, 14sumeq12dv 15104 . . . 4 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
16 fzfid 13383 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
18 dvdsssfz1 15712 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
2016, 19ssfid 8763 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
21 eqid 2759 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
22 eqid 2759 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
2321, 22dvdsflip 15711 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
2417, 23syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
25 oveq2 7159 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑣 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑣))
26 ovex 7184 . . . . . 6 (𝑁 / 𝑧) ∈ V
2725, 22, 26fvmpt3i 6765 . . . . 5 (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
2827adantl 486 . . . 4 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
29 fzfid 13383 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...𝑢) ∈ Fin)
30 ssrab2 3985 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
31 simpr 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
3230, 31sseldi 3891 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
33 dvdsssfz1 15712 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ⊆ (1...𝑢))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ⊆ (1...𝑢))
3529, 34ssfid 8763 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢} ∈ Fin)
36 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
3736ralrimivva 3121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ)
38 nfv 1916 . . . . . . . . 9 𝑢𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ
393nfel1 2936 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
402, 39nfralw 3154 . . . . . . . . 9 𝑗𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
417eleq1d 2837 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑢 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
426, 41raleqbidv 3320 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑢 → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
4338, 40, 42cbvralw 3353 . . . . . . . 8 (∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4437, 43sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4544r19.21bi 3138 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4645r19.21bi 3138 . . . . 5 (((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}) → 𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4735, 46fsumcl 15131 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
4815, 20, 24, 28, 47fsumf1o 15121 . . 3 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
4913eleq1d 2837 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
5012, 49raleqbidv 3320 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
5144adantr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
52 dvdsdivcl 15710 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
5317, 52sylan 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
5450, 51, 53rspcdva 3544 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5554r19.21bi 3138 . . . . 5 (((𝜑𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5655anasss 471 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
5717, 56fsumdvdsdiag 25861 . . 3 (𝜑 → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴)
58 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)))
5958csbeq1d 3810 . . . . . 6 (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴)
60 fzfid 13383 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑘)) ∈ Fin)
61 dvdsdivcl 15710 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
6230, 61sseldi 3891 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
6317, 62sylan 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
64 dvdsssfz1 15712 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
6563, 64syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
6660, 65ssfid 8763 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ∈ Fin)
67 eqid 2759 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}
68 eqid 2759 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))
6967, 68dvdsflip 15711 . . . . . . 7 ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
7063, 69syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
71 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑚 → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
72 ovex 7184 . . . . . . . 8 ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) ∈ V
7371, 68, 72fvmpt3i 6765 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
7473adantl 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
7517fsumdvdsdiaglem 25860 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})))
7656ex 417 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
7775, 76syld 47 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
7877impl 460 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
7959, 66, 70, 74, 78fsumf1o 15121 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴)
80 ovexd 7186 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ∈ V)
81 nncn 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82 nnne0 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8381, 82jca 516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8417, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8584ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
8685simpld 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑁 ∈ ℂ)
87 elrabi 3597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → 𝑘 ∈ ℕ)
8887adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8988adantr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
90 nncn 11675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
91 nnne0 11701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
9290, 91jca 516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
9389, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
94 elrabi 3597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → 𝑚 ∈ ℕ)
9594adantl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑚 ∈ ℕ)
96 nncn 11675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
97 nnne0 11701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
9896, 97jca 516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
9995, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
100 divdiv1 11382 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
10186, 93, 99, 100syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
102101oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))))
103 nnmulcl 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
10488, 94, 103syl2an 599 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
105 nncn 11675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ)
106 nnne0 11701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)
107105, 106jca 516 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
108104, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
109 ddcan 11385 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
11085, 108, 109syl2anc 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
111102, 110eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑘 · 𝑚))
112111eqeq2d 2770 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ↔ 𝑗 = (𝑘 · 𝑚)))
113112biimpa 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝑗 = (𝑘 · 𝑚))
114 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
115113, 114syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝐴 = 𝐵)
11680, 115csbied 3842 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
117116sumeq2dv 15101 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
11879, 117eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
119118sumeq2dv 15101 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}(𝑁 / 𝑣) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
12048, 57, 1193eqtrd 2798 . 2 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑢}𝑢 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
12110, 120syl5eq 2806 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  {crab 3075  Vcvv 3410  ⦋csb 3806   ⊆ wss 3859   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  –1-1-onto→wf1o 6335  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   · cmul 10573   / cdiv 11328  ℕcn 11667  ...cfz 12932  Σcsu 15083   ∥ cdvds 15648 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-clim 14886  df-sum 15084  df-dvds 15649 This theorem is referenced by:  logsqvma  26218
 Copyright terms: Public domain W3C validator