Theorem fsumdvdscom 27147

Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 27146. Note that 𝐴 depends on both 𝑗 and 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdscom.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
fsumdvdscom.2	⊢ (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
fsumdvdscom.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdscom	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fsumdvdscom

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (𝑥 ∥ 𝑗 ↔ 𝑥 ∥ 𝑢))
2	1	rabbidv 3423	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢})
3		csbeq1a 3888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → 𝐴 = ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑗 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}) → 𝐴 = ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
5	2, 4	sumeq12dv 15722	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
6		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴
7		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}
8		nfcsb1v 3898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
9	7, 8	nfsum 15707	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
10	5, 6, 9	cbvsum 15711	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
11		breq2 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑥 ∥ 𝑢 ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)))
12	11	rabbidv 3423	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})
13		csbeq1 3877	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 = (𝑁 / 𝑣) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
15	12, 14	sumeq12dv 15722	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
16		fzfid 13991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
17		fsumdvdscom.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18		dvdsssfz1 16337	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
20	16, 19	ssfid 9273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
21		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
22		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
23	21, 22	dvdsflip 16336	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
24	17, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
25		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑣))
26		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 / 𝑧) ∈ V
27	25, 22, 26	fvmpt3i 6991	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
29		fzfid 13991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...𝑢) ∈ Fin)
30		ssrab2 4055	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
31		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
32	30, 31	sselid 3956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
33		dvdsssfz1 16337	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ⊆ (1...𝑢))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ⊆ (1...𝑢))
35	29, 34	ssfid 9273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ∈ Fin)
36		fsumdvdscom.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	ralrimivva 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ)
38		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ
39	8	nfel1 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
40	7, 39	nfralw 3291	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
41	3	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
42	2, 41	raleqbidv 3325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
43	38, 40, 42	cbvralw 3286	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
44	37, 43	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
45	44	r19.21bi 3234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
46	45	r19.21bi 3234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
47	35, 46	fsumcl 15749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
48	15, 20, 24, 28, 47	fsumf1o 15739	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
49	13	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
50	12, 49	raleqbidv 3325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
51	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
52		dvdsdivcl 16335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
53	17, 52	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
54	50, 51, 53	rspcdva 3602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
55	54	r19.21bi 3234	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
56	55	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
57	17, 56	fsumdvdsdiag 27146	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
58		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)))
59	58	csbeq1d 3878	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴)
60		fzfid 13991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑘)) ∈ Fin)
61		dvdsdivcl 16335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
62	30, 61	sselid 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
63	17, 62	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
64		dvdsssfz1 16337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
66	60, 65	ssfid 9273	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ∈ Fin)
67		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}
68		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))
69	67, 68	dvdsflip 16336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
70	63, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
71		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
72		ovex 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) ∈ V
73	71, 68, 72	fvmpt3i 6991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
74	73	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
75	17	fsumdvdsdiaglem 27145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})))
76	56	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
77	75, 76	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
78	77	impl 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
79	59, 66, 70, 74, 78	fsumf1o 15739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴)
80		ovexd 7440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ∈ V)
81		nncn 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82		nnne0 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
83	81, 82	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
84	17, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
85	84	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
86	85	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑁 ∈ ℂ)
87		elrabi 3666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑘 ∈ ℕ)
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑘 ∈ ℕ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
90		nncn 12248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
91		nnne0 12274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
92	90, 91	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
93	89, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
94		elrabi 3666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → 𝑚 ∈ ℕ)
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑚 ∈ ℕ)
96		nncn 12248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
97		nnne0 12274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
98	96, 97	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
99	95, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
100		divdiv1 11952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
101	86, 93, 99, 100	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
102	101	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))))
103		nnmulcl 12264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
104	88, 94, 103	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
105		nncn 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ)
106		nnne0 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)
107	105, 106	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
108	104, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
109		ddcan 11955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
110	85, 108, 109	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
111	102, 110	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑘 · 𝑚))
112	111	eqeq2d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ↔ 𝑗 = (𝑘 · 𝑚)))
113	112	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝑗 = (𝑘 · 𝑚))
114		fsumdvdscom.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
115	113, 114	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝐴 = 𝐵)
116	80, 115	csbied 3910	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵)
117	116	sumeq2dv 15718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
118	79, 117	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
119	118	sumeq2dv 15718	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
120	48, 57, 119	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
121	10, 120	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3415  Vcvv 3459  ⦋csb 3874   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ...cfz 13524  Σcsu 15702   ∥ cdvds 16272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-dvds 16273

This theorem is referenced by:  logsqvma  27505