MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumzcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumzcl2 15087
Description: A finite sum with integer summands is an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsumzcl2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumzcl2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2955 . . 3 𝑥𝐵
2 nfcsb1v 3852 . . 3 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
3 csbeq1a 3842 . . 3 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
41, 2, 3cbvsumi 15046 . 2 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵
5 simpl 486 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ Fin)
6 rspcsbela 4343 . . . . . 6 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
76expcom 417 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ → (𝑥𝐴𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
87adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
98imp 410 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
105, 9fsumzcl 15084 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
114, 10eqeltrid 2894 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111  wral 3106  csb 3828  Fincfn 8492  cz 11969  Σcsu 15034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035
This theorem is referenced by:  modfsummods  15140
  Copyright terms: Public domain W3C validator