Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeq2 24826
 Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeeq2 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrle.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 simpll 765 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝜑)
4 simpr 487 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
5 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6 nn0uz 12274 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
75, 6eleqtrdi 2923 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
82nn0zd 12079 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
98ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 elfz5 12894 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
117, 9, 10syl2anc 586 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
124, 11mpbird 259 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 dgrle.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
143, 12, 13syl2anc 586 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 0cnd 10628 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘𝑁) → 0 ∈ ℂ)
1614, 15ifclda 4500 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
1716fmpttd 6873 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
18 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2019fvmpt2 6773 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2118, 16, 20syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2221neeq1d 3075 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0))
23 iffalse 4475 . . . . . . 7 𝑘𝑁 → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 0)
2423necon1ai 3043 . . . . . 6 (if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘𝑁)
2522, 24syl6bi 255 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
2625ralrimiva 3182 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
27 nfv 1911 . . . . 5 𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)
28 nffvmpt1 6675 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
29 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑘0
3028, 29nfne 3119 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0
31 nfv 1911 . . . . . 6 𝑘 𝑚𝑁
3230, 31nfim 1893 . . . . 5 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)
33 fveq2 6664 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
3433neeq1d 3075 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0))
35 breq1 5061 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝑁𝑚𝑁))
3634, 35imbi12d 347 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
3727, 32, 36cbvralw 3441 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
3826, 37sylib 220 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
39 plyco0 24776 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
402, 17, 39syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
4138, 40mpbird 259 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
42 dgrle.4 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
43 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
44 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑘 ·
45 nfcv 2977 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝑚)
4628, 44, 45nfov 7180 . . . . . 6 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))
47 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑚))
4833, 47oveq12d 7168 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚)))
4943, 46, 48cbvsumi 15048 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))
50 elfznn0 12994 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150adantl 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 elfzle2 12905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
5352adantl 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘𝑁)
5453iftrued 4474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
5513adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55eqeltrd 2913 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5751, 56, 20syl2anc 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
5857, 54eqtrd 2856 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
5958oveq1d 7165 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧𝑘)))
6059sumeq2dv 15054 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
6149, 60syl5eqr 2870 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
6261mpteq2dva 5153 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
6342, 62eqtr4d 2859 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))))
641, 2, 17, 41, 63coeeq 24811 1 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ifcif 4466  {csn 4560   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138   “ cima 5552  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   ≤ cle 10670  ℕ0cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ≥cuz 12237  ...cfz 12886  ↑cexp 13423  Σcsu 15036  Polycply 24768  coeffccoe 24770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-0p 24265  df-ply 24772  df-coe 24774 This theorem is referenced by:  dgrle  24827  aareccl  24909  elaa2lem  42512
 Copyright terms: Public domain W3C validator