Theorem coeeq2 26281

Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrle.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
coeeq2	⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeq2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrle.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrle.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝜑)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁)
5		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12920	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2851	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
8	2	nn0zd 12639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfz5 13556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
12	4, 11	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13		dgrle.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	3, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		0cnd 11254	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℂ)
16	14, 15	ifclda 4561	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
17	16	fmpttd 7135	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
20	19	fvmpt2 7027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
21	18, 16, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
22	21	neeq1d 3000	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0))
23		iffalse 4534	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
24	23	necon1ai 2968	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)
25	22, 24	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
26	25	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
27		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)
28		nffvmpt1 6917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
29		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘0
30	28, 29	nfne 3043	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0
31		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ≤ 𝑁
32	30, 31	nfim 1896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)
33		fveq2 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
34	33	neeq1d 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0))
35		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
36	34, 35	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
37	27, 32, 36	cbvralw 3306	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
38	26, 37	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
39		plyco0 26231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
40	2, 17, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
41	38, 40	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
42		dgrle.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
43		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑𝑚))
44	33, 43	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
45		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))
46		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
47		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧↑𝑚)
48	28, 46, 47	nfov 7461	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))
49	44, 45, 48	cbvsum 15731	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))
50		elfznn0 13660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
54	53	iftrued 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
55	13	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	54, 55	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
57	51, 56, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
58	57, 54	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
59	58	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
60	59	sumeq2dv 15738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
61	49, 60	eqtr3id 2791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
62	61	mpteq2dva 5242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
63	42, 62	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
64	1, 2, 17, 41, 63	coeeq 26266	1 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Σcsu 15722  Polycply 26223  coeffccoe 26225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-0p 25705  df-ply 26227  df-coe 26229

This theorem is referenced by:  dgrle  26282  aareccl  26368  elaa2lem  46248