Theorem coeeq2 26594

Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrle.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
coeeq2	⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧, 𝑘)   𝐹(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem coeeq2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrle.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrle.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝜑)
4		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁)
5		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6		nn0uz 13033	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2874	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
8	2	nn0zd 12748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfz5 13678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
12	4, 11	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13		dgrle.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	3, 12, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		0cnd 11329	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℂ)
16	14, 15	ifclda 4521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
17	16	fmpttd 7142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
18		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
20	19	fvmpt2 7031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
21	18, 16, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
22	21	neeq1d 3018	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0))
23		iffalse 4494	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
24	23	necon1ai 2986	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)
25	22, 24	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
26	25	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
27		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)
28		nffvmpt1 6922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
29		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘0
30	28, 29	nfne 3062	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0
31		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ≤ 𝑁
32	30, 31	nfim 1931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)
33		fveq2 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
34	33	neeq1d 3018	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0))
35		breq1 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
36	34, 35	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
37	27, 32, 36	cbvralw 3308	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
38	26, 37	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
39		plyco0 26543	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
40	2, 17, 39	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
41	38, 40	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
42		dgrle.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
43		oveq2 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑𝑚))
44	33, 43	oveq12d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
45		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))
46		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
47		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧↑𝑚)
48	28, 46, 47	nfov 7476	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))
49	44, 45, 48	cbvsum 15894	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))
50		elfznn0 13784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52		elfzle2 13691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
54	53	iftrued 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
55	13	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	54, 55	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
57	51, 56, 20	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
58	57, 54	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
59	58	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
60	59	sumeq2dv 15901	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
61	49, 60	eqtr3id 2812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
62	61	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
63	42, 62	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
64	1, 2, 17, 41, 63	coeeq 26579	1 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   “ cima 5659  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   ≤ cle 11374  ℕ₀cn0 12636  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995  ...cfz 13669  ↑cexp 14234  Σcsu 15885  Polycply 26535  coeffccoe 26537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-0p 26024  df-ply 26539  df-coe 26541

This theorem is used by:  dgrle  26595  aareccl  26686  elaa2lem  47458