MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeq2 25756
Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
dgrle.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
dgrle.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dgrle.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
Assertion
Ref Expression
coeeq2 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑆(𝑧,π‘˜)   𝐹(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
2 dgrle.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ πœ‘)
4 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
5 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
6 nn0uz 12864 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
75, 6eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
82nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
98ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
10 elfz5 13493 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
117, 9, 10syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
124, 11mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
13 dgrle.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
143, 12, 13syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
15 0cnd 11207 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁) β†’ 0 ∈ β„‚)
1614, 15ifclda 4564 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
1716fmpttd 7115 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚)
18 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
19 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))
2019fvmpt2 7010 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))
2118, 16, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))
2221neeq1d 3001 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0))
23 iffalse 4538 . . . . . . 7 (Β¬ π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
2423necon1ai 2969 . . . . . 6 (if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
2522, 24syl6bi 253 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2625ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
27 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘š(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
28 nffvmpt1 6903 . . . . . . 7 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š)
29 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘˜0
3028, 29nfne 3044 . . . . . 6 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) β‰  0
31 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘˜ π‘š ≀ 𝑁
3230, 31nfim 1900 . . . . 5 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁)
33 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š))
3433neeq1d 3001 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) β‰  0))
35 breq1 5152 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ π‘š ≀ 𝑁))
3634, 35imbi12d 345 . . . . 5 (π‘˜ = π‘š β†’ ((((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ↔ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁)))
3727, 32, 36cbvralw 3304 . . . 4 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁))
3826, 37sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁))
39 plyco0 25706 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁)))
402, 17, 39syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘š ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) β‰  0 β†’ π‘š ≀ 𝑁)))
4138, 40mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)) β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
42 dgrle.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
43 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘š(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))
44 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘˜ Β·
45 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π‘§β†‘π‘š)
4628, 44, 45nfov 7439 . . . . . 6 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) Β· (π‘§β†‘π‘š))
47 oveq2 7417 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (π‘§β†‘π‘š))
4833, 47oveq12d 7427 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) Β· (π‘§β†‘π‘š)))
4943, 46, 48cbvsumi 15643 . . . . 5 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) Β· (π‘§β†‘π‘š))
50 elfznn0 13594 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
5150adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
52 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
5352adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
5453iftrued 4537 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
5513adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5654, 55eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ β„‚)
5751, 56, 20syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))
5857, 54eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) = 𝐴)
5958oveq1d 7424 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = (𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
6059sumeq2dv 15649 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
6149, 60eqtr3id 2787 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) Β· (π‘§β†‘π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
6261mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) Β· (π‘§β†‘π‘š))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝐴 Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
6342, 62eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘š ∈ (0...𝑁)(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0))β€˜π‘š) Β· (π‘§β†‘π‘š))))
641, 2, 17, 41, 63coeeq 25741 1 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ ≀ 𝑁, 𝐴, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704
This theorem is referenced by:  dgrle  25757  aareccl  25839  elaa2lem  44949
  Copyright terms: Public domain W3C validator