Theorem coeeq2 26203

Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrle.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
coeeq2	⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeq2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrle.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrle.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝜑)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁)
5		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12789	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
8	2	nn0zd 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		elfz5 13432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
12	4, 11	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13		dgrle.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	3, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		0cnd 11125	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℂ)
16	14, 15	ifclda 4515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
17	16	fmpttd 7060	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
20	19	fvmpt2 6952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
21	18, 16, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
22	21	neeq1d 2991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0))
23		iffalse 4488	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑘 ≤ 𝑁 → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
24	23	necon1ai 2959	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)
25	22, 24	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
26	25	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
27		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁)
28		nffvmpt1 6845	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
29		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘0
30	28, 29	nfne 3033	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0
31		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ≤ 𝑁
32	30, 31	nfim 1897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)
33		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
34	33	neeq1d 2991	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0))
35		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑚 ≤ 𝑁))
36	34, 35	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
37	27, 32, 36	cbvralw 3278	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
38	26, 37	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁))
39		plyco0 26153	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
40	2, 17, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚 ≤ 𝑁)))
41	38, 40	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
42		dgrle.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
43		oveq2 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑𝑚))
44	33, 43	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
45		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))
46		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
47		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑧↑𝑚)
48	28, 46, 47	nfov 7388	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))
49	44, 45, 48	cbvsum 15618	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))
50		elfznn0 13536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52		elfzle2 13444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
54	53	iftrued 4487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
55	13	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	54, 55	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
57	51, 56, 20	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))
58	57, 54	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
59	58	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
60	59	sumeq2dv 15625	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
61	49, 60	eqtr3id 2785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘)))
62	61	mpteq2dva 5191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧↑𝑘))))
63	42, 62	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
64	1, 2, 17, 41, 63	coeeq 26188	1 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ≤ 𝑁, 𝐴, 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ifcif 4479  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  Σcsu 15609  Polycply 26145  coeffccoe 26147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-0p 25627  df-ply 26149  df-coe 26151

This theorem is referenced by:  dgrle  26204  aareccl  26290  elaa2lem  46477