MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeeq2 24219
Description: Compute the coefficient function given a sum expression for the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
dgrle.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
dgrle.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
dgrle.4 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
coeeq2 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem coeeq2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2 dgrle.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3 simpll 744 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝜑)
4 simpr 471 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
5 simplr 746 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6 nn0uz 11925 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
75, 6syl6eleq 2860 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
82nn0zd 11683 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
98ad2antrr 699 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 elfz5 12542 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
117, 9, 10syl2anc 567 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘𝑁))
124, 11mpbird 247 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 dgrle.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
143, 12, 13syl2anc 567 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 0cnd 10236 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘𝑁) → 0 ∈ ℂ)
1614, 15ifclda 4260 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
17 eqid 2771 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
1816, 17fmptd 6528 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ)
19 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2017fvmpt2 6434 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2119, 16, 20syl2anc 567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
2221neeq1d 3002 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0))
23 iffalse 4235 . . . . . . 7 𝑘𝑁 → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 0)
2423necon1ai 2970 . . . . . 6 (if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ≠ 0 → 𝑘𝑁)
2522, 24syl6bi 243 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
2625ralrimiva 3115 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
27 nfv 1995 . . . . 5 𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)
28 nffvmpt1 6341 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚)
29 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑘0
3028, 29nfne 3043 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0
31 nfv 1995 . . . . . 6 𝑘 𝑚𝑁
3230, 31nfim 1977 . . . . 5 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)
33 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚))
3433neeq1d 3002 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0))
35 breq1 4790 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝑁𝑚𝑁))
3634, 35imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
3727, 32, 36cbvral 3316 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
3826, 37sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁))
39 plyco0 24169 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
402, 18, 39syl2anc 567 . . 3 (𝜑 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) ≠ 0 → 𝑚𝑁)))
4138, 40mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)) “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
42 dgrle.4 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
43 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑚(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
44 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑘 ·
45 nfcv 2913 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝑚)
4628, 44, 45nfov 6822 . . . . . 6 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))
47 oveq2 6802 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑚))
4833, 47oveq12d 6812 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚)))
4943, 46, 48cbvsumi 14636 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))
50 elfznn0 12641 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 elfzle2 12553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
5352adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘𝑁)
5453iftrued 4234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
5513adantlr 688 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5654, 55eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5751, 56, 20syl2anc 567 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))
5857, 54eqtrd 2805 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
5958oveq1d 6809 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧𝑘)))
6059sumeq2dv 14642 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
6149, 60syl5eqr 2819 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
6261mpteq2dva 4879 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
6342, 62eqtr4d 2808 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0))‘𝑚) · (𝑧𝑚))))
641, 2, 18, 41, 63coeeq 24204 1 (𝜑 → (coeff‘𝐹) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘𝑁, 𝐴, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  ifcif 4226  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cima 5253  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142   · cmul 10144  cle 10278  0cn0 11495  cz 11580  cuz 11889  ...cfz 12534  cexp 13068  Σcsu 14625  Polycply 24161  coeffccoe 24163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626  df-0p 23658  df-ply 24165  df-coe 24167
This theorem is referenced by:  dgrle  24220  aareccl  24302  elaa2lem  40968
  Copyright terms: Public domain W3C validator