Theorem fsumshftm 15184

Description: Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftm.5	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumshftm	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2919	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
2		nfcsb1v 3829	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴
3		csbeq1a 3819	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴)
4	1, 2, 3	cbvsumi 15102	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴
5		fsumrev.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	znegcld 12128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
7		fsumrev.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fsumrev.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fsumrev.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	ralrimiva 3113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
11	2	nfel1 2935	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
12	3	eleq1d 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
13	11, 12	rspc 3529	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
14	10, 13	mpan9 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
15		csbeq1 3808	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − -𝐾) → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
16	6, 7, 8, 14, 15	fsumshft 15183	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
17	7	zcnd 12127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	5	zcnd 12127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
19	17, 18	negsubd 11041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀 − 𝐾))
20	8	zcnd 12127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20, 18	negsubd 11041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
22	19, 21	oveq12d 7168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
23	22	sumeq1d 15106	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
24		elfzelz 12956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
26		subneg 10973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
27	25, 18, 26	syl2anr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
28	27	csbeq1d 3809	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑘 + 𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
29		ovex 7183	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 + 𝐾) ∈ V
30		fsumshftm.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
31	29, 30	csbie 3840	. . . . 5 ⊢ ⦋(𝑘 + 𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵
32	28, 31	eqtrdi 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵)
33	32	sumeq2dv 15108	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)
34	16, 23, 33	3eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)
35	4, 34	syl5eq 2805	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ⦋csb 3805  (class class class)co 7150  ℂcc 10573   + caddc 10578   − cmin 10908  -cneg 10909  ℤcz 12020  ...cfz 12939  Σcsu 15090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091

This theorem is referenced by:  telfsumo  15205  fsumparts  15209  arisum  15263  pwdif  15271  geo2sum  15277  ovolicc2lem4  24220  uniioombllem3  24285  dvply1  24979  pserdvlem2  25122  advlogexp  25345  dchrisumlem1  26172  pntpbnd2  26270  nn0sumshdiglemA  45398  nn0sumshdiglemB  45399