MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumshftm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumshftm 15673
Description: Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrev.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftm.5 (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumshftm (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftm
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2908 . . 3 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3885 . . 3 𝑗𝑚 / 𝑗𝐴
3 csbeq1a 3874 . . 3 (𝑗 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑗𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 15589 . 2 Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑗𝐴
5 fsumrev.1 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
65znegcld 12616 . . . 4 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
7 fsumrev.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 fsumrev.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
9 fsumrev.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
109ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
112nfel1 2924 . . . . . 6 𝑗𝑚 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
123eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1311, 12rspc 3572 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1410, 13mpan9 508 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑚 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
15 csbeq1 3863 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 − -𝐾) → 𝑚 / 𝑗𝐴 = (𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴)
166, 7, 8, 14, 15fsumshft 15672 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))(𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴)
177zcnd 12615 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
185zcnd 12615 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
1917, 18negsubd 11525 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀𝐾))
208zcnd 12615 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2120, 18negsubd 11525 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁𝐾))
2219, 21oveq12d 7380 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾)))
2322sumeq1d 15593 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))(𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))(𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴)
24 elfzelz 13448 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2524zcnd 12615 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
26 subneg 11457 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
2725, 18, 26syl2anr 598 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
2827csbeq1d 3864 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴 = (𝑘 + 𝐾) / 𝑗𝐴)
29 ovex 7395 . . . . . 6 (𝑘 + 𝐾) ∈ V
30 fsumshftm.5 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
3129, 30csbie 3896 . . . . 5 (𝑘 + 𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵
3228, 31eqtrdi 2793 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
3332sumeq2dv 15595 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))(𝑘 − -𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))𝐵)
3416, 23, 333eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))𝐵)
354, 34eqtrid 2789 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀𝐾)...(𝑁𝐾))𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  csb 3860  (class class class)co 7362  cc 11056   + caddc 11061  cmin 11392  -cneg 11393  cz 12506  ...cfz 13431  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  telfsumo  15694  fsumparts  15698  arisum  15752  pwdif  15760  geo2sum  15765  ovolicc2lem4  24900  uniioombllem3  24965  dvply1  25660  pserdvlem2  25803  advlogexp  26026  dchrisumlem1  26853  pntpbnd2  26951  nn0sumshdiglemA  46779  nn0sumshdiglemB  46780
  Copyright terms: Public domain W3C validator