Theorem fsumshftm 15869

Description: Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftm.5	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumshftm	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3864	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴)
2		nfcv 2924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
3		nfcsb1v 3874	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴
4	1, 2, 3	cbvsum 15784	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴
5		fsumrev.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	znegcld 12730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
7		fsumrev.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fsumrev.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fsumrev.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
11	3	nfel1 2940	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
12	1	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
13	11, 12	rspc 3567	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
14	10, 13	mpan9 516	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
15		csbeq1 3853	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − -𝐾) → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
16	6, 7, 8, 14, 15	fsumshft 15868	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
17	7	zcnd 12729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	5	zcnd 12729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
19	17, 18	negsubd 11602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀 − 𝐾))
20	8	zcnd 12729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20, 18	negsubd 11602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
22	19, 21	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
23	22	sumeq1d 15789	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
24		elfzelz 13580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
26		subneg 11534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
27	25, 18, 26	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
28	27	csbeq1d 3854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑘 + 𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
29		ovex 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 + 𝐾) ∈ V
30		fsumshftm.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
31	29, 30	csbie 3885	. . . . 5 ⊢ ⦋(𝑘 + 𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵
32	28, 31	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵)
33	32	sumeq2dv 15791	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)
34	16, 23, 33	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)
35	4, 34	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ⦋csb 3850  (class class class)co 7416  ℂcc 11125   + caddc 11130   − cmin 11468  -cneg 11469  ℤcz 12618  ...cfz 13563  Σcsu 15775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776

This theorem is used by:  telfsumo  15891  fsumparts  15895  arisum  15951  pwdif  15959  geo2sum  15964  ovolicc2lem4  25749  uniioombllem3  25814  dvply1  26515  pserdvlem2  26661  advlogexp  26890  dchrisumlem1  27723  pntpbnd2  27821  sumcubes  43175  nn0sumshdiglemA  49536  nn0sumshdiglemB  49537