Theorem fsumshftm 15706

Description: Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrev.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
fsumrev.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumrev.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumrev.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftm.5	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumshftm	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftm

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3862	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴)
2		nfcv 2897	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
3		nfcsb1v 3872	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴
4	1, 2, 3	cbvsum 15620	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴
5		fsumrev.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
6	5	znegcld 12600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
7		fsumrev.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fsumrev.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9		fsumrev.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	ralrimiva 3127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
11	3	nfel1 2914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
12	1	eleq1d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
13	11, 12	rspc 3563	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
14	10, 13	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
15		csbeq1 3851	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − -𝐾) → ⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
16	6, 7, 8, 14, 15	fsumshft 15705	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
17	7	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18	5	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
19	17, 18	negsubd 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + -𝐾) = (𝑀 − 𝐾))
20	8	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
21	20, 18	negsubd 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + -𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
22	19, 21	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾)) = ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)))
23	22	sumeq1d 15625	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + -𝐾)...(𝑁 + -𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
24		elfzelz 13442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾)) → 𝑘 ∈ ℂ)
26		subneg 11432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
27	25, 18, 26	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → (𝑘 − -𝐾) = (𝑘 + 𝐾))
28	27	csbeq1d 3852	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑘 + 𝐾) / 𝑗⦌𝐴)
29		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 + 𝐾) ∈ V
30		fsumshftm.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 𝐾) → 𝐴 = 𝐵)
31	29, 30	csbie 3883	. . . . 5 ⊢ ⦋(𝑘 + 𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵
32	28, 31	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))) → ⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵)
33	32	sumeq2dv 15627	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))⦋(𝑘 − -𝐾) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)
34	16, 23, 33	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)
35	4, 34	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 − 𝐾)...(𝑁 − 𝐾))𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  ⦋csb 3848  (class class class)co 7358  ℂcc 11026   + caddc 11031   − cmin 11366  -cneg 11367  ℤcz 12490  ...cfz 13425  Σcsu 15611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  telfsumo  15727  fsumparts  15731  arisum  15785  pwdif  15793  geo2sum  15798  ovolicc2lem4  25479  uniioombllem3  25544  dvply1  26249  pserdvlem2  26396  advlogexp  26622  dchrisumlem1  27458  pntpbnd2  27556  sumcubes  42605  nn0sumshdiglemA  48902  nn0sumshdiglemB  48903