MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdsmul 26450
Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that "Σ𝑘𝑁𝐹(𝑘) is a multiplicative function if 𝐹 is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.3 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
dvdsmulf1o.y 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
dvdsmulf1o.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
fsumdvdsmul.4 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumdvdsmul.5 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumdvdsmul.6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
fsumdvdsmul.7 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmul (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑖𝑍 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐷,𝑖   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑖,𝑗,𝑘,𝑋   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑖,𝑌,𝑗,𝑘   𝑖,𝑍,𝑗   𝑥,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumdvdsmul
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13799 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 dvdsssfz1 16127 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ (1...𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ (1...𝑀))
62, 5eqsstrid 3984 . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ (1...𝑀))
71, 6ssfid 9137 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
8 fzfid 13799 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 dvdsmulf1o.y . . . . . 6 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
10 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11 dvdsssfz1 16127 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
139, 12eqsstrid 3984 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ (1...𝑁))
148, 13ssfid 9137 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
15 fsumdvdsmul.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15fsumcl 15545 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑌 𝐵 ∈ ℂ)
17 fsumdvdsmul.4 . . 3 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
187, 16, 17fsummulc1 15597 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑗𝑋 (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵))
1914adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
2015adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑋) ∧ 𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
2119, 17, 20fsummulc2 15596 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑘𝑌 (𝐴 · 𝐵))
22 fsumdvdsmul.6 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
2322anassrs 469 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑋) ∧ 𝑘𝑌) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
2423sumeq2dv 15515 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → Σ𝑘𝑌 (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘𝑌 𝐷)
2521, 24eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑘𝑌 𝐷)
2625sumeq2dv 15515 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷)
27 fveq2 6830 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
28 df-ov 7345 . . . . . . 7 (𝑗 · 𝑘) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2927, 28eqtr4di 2795 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = (𝑗 · 𝑘))
3029csbeq1d 3851 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 = (𝑗 · 𝑘) / 𝑖𝐶)
31 ovex 7375 . . . . . 6 (𝑗 · 𝑘) ∈ V
32 fsumdvdsmul.7 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
3331, 32csbie 3883 . . . . 5 (𝑗 · 𝑘) / 𝑖𝐶 = 𝐷
3430, 33eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 = 𝐷)
3517adantrr 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3615adantrl 714 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3735, 36mulcld 11101 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3822, 37eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3934, 7, 14, 38fsumxp 15584 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
40 nfcv 2905 . . . . 5 𝑤𝐶
41 nfcsb1v 3872 . . . . 5 𝑖𝑤 / 𝑖𝐶
42 csbeq1a 3861 . . . . 5 (𝑖 = 𝑤𝐶 = 𝑤 / 𝑖𝐶)
4340, 41, 42cbvsumi 15509 . . . 4 Σ𝑖𝑍 𝐶 = Σ𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶
44 csbeq1 3850 . . . . 5 (𝑤 = ( · ‘𝑧) → 𝑤 / 𝑖𝐶 = ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
45 xpfi 9187 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
467, 14, 45syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
47 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
48 dvdsmulf1o.z . . . . . 6 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
493, 10, 47, 2, 9, 48dvdsmulf1o 26449 . . . . 5 (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍)
50 fvres 6849 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
5150adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
5238ralrimivva 3194 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗𝑋𝑘𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
5334eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → (( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
5453ralxp 5788 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑗𝑋𝑘𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
5552, 54sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
56 ax-mulf 11057 . . . . . . . . . 10 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
57 ffn 6656 . . . . . . . . . 10 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9 · Fn (ℂ × ℂ)
592ssrab3 4032 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ⊆ ℕ
60 nnsscn 12084 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℂ
6159, 60sstri 3945 . . . . . . . . . 10 𝑋 ⊆ ℂ
629ssrab3 4032 . . . . . . . . . . 11 𝑌 ⊆ ℕ
6362, 60sstri 3945 . . . . . . . . . 10 𝑌 ⊆ ℂ
64 xpss12 5640 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
6561, 63, 64mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)
6644eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ( · ‘𝑧) → (𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
6766ralima 7175 . . . . . . . . 9 (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
6858, 65, 67mp2an 690 . . . . . . . 8 (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
69 df-ima 5638 . . . . . . . . . 10 ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌))
70 f1ofo 6779 . . . . . . . . . . 11 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍)
71 forn 6747 . . . . . . . . . . 11 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7249, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7369, 72eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7473raleqdv 3310 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
7568, 74bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
7655, 75mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
7776r19.21bi 3231 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
7844, 46, 49, 51, 77fsumf1o 15535 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
7943, 78eqtrid 2789 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖𝑍 𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
8039, 79eqtr4d 2780 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷 = Σ𝑖𝑍 𝐶)
8118, 26, 803eqtrd 2781 1 (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑖𝑍 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  {crab 3404  csb 3847  wss 3902  cop 4584   class class class wbr 5097   × cxp 5623  ran crn 5626  cres 5627  cima 5628   Fn wfn 6479  wf 6480  ontowfo 6482  1-1-ontowf1o 6483  cfv 6484  (class class class)co 7342  Fincfn 8809  cc 10975  1c1 10978   · cmul 10982  cn 12079  ...cfz 13345  Σcsu 15497  cdvds 16063   gcd cgcd 16301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-sum 15498  df-dvds 16064  df-gcd 16302
This theorem is referenced by:  sgmmul  26455  dchrisum0fmul  26760
  Copyright terms: Public domain W3C validator