Theorem fsumdvdsmul 26344

Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that "Σ𝑘 ∥ 𝑁𝐹(𝑘) is a multiplicative function if 𝐹 is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmulf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x	⊢ 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}
dvdsmulf1o.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
dvdsmulf1o.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
fsumdvdsmul.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumdvdsmul.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumdvdsmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
fsumdvdsmul.7	⊢ (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsmul	⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐷,𝑖   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑖,𝑗,𝑘,𝑋   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑖,𝑌,𝑗,𝑘   𝑖,𝑍,𝑗   𝑥,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumdvdsmul

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2		dvdsmulf1o.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}
3		dvdsmulf1o.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		dvdsssfz1 16027	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ⊆ (1...𝑀))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ⊆ (1...𝑀))
6	2, 5	eqsstrid 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (1...𝑀))
7	1, 6	ssfid 9042	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8		fzfid 13693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9		dvdsmulf1o.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
10		dvdsmulf1o.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		dvdsssfz1 16027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
13	9, 12	eqsstrid 3969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (1...𝑁))
14	8, 13	ssfid 9042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
15		fsumdvdsmul.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	fsumcl 15445	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ ℂ)
17		fsumdvdsmul.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	7, 16, 17	fsummulc1 15497	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵))
19	14	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
20	15	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	19, 17, 20	fsummulc2 15496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 (𝐴 · 𝐵))
22		fsumdvdsmul.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
23	22	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
24	23	sumeq2dv 15415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝑌 (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
25	21, 24	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
26	25	sumeq2dv 15415	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
27		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
28		df-ov 7278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 · 𝑘) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
29	27, 28	eqtr4di 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = (𝑗 · 𝑘))
30	29	csbeq1d 3836	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 = ⦋(𝑗 · 𝑘) / 𝑖⦌𝐶)
31		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 · 𝑘) ∈ V
32		fsumdvdsmul.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
33	31, 32	csbie 3868	. . . . 5 ⊢ ⦋(𝑗 · 𝑘) / 𝑖⦌𝐶 = 𝐷
34	30, 33	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 = 𝐷)
35	17	adantrr 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	15	adantrl 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	35, 36	mulcld 10995	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
38	22, 37	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
39	34, 7, 14, 38	fsumxp 15484	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
40		nfcv 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝐶
41		nfcsb1v 3857	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶
42		csbeq1a 3846	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑤 → 𝐶 = ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶)
43	40, 41, 42	cbvsumi 15409	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶 = Σ𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶
44		csbeq1 3835	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ( · ‘𝑧) → ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 = ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
45		xpfi 9085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
46	7, 14, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
47		dvdsmulf1o.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
48		dvdsmulf1o.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
49	3, 10, 47, 2, 9, 48	dvdsmulf1o 26343	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→𝑍)
50		fvres 6793	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
51	50	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
52	38	ralrimivva 3123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑋 ∀𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
53	34	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → (⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
54	53	ralxp 5750	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑋 ∀𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
55	52, 54	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
56		ax-mulf 10951	. . . . . . . . . 10 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
57		ffn 6600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
59	2	ssrab3 4015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 ⊆ ℕ
60		nnsscn 11978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
61	59, 60	sstri 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
62	9	ssrab3 4015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ⊆ ℕ
63	62, 60	sstri 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 ⊆ ℂ
64		xpss12 5604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
65	61, 63, 64	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)
66	44	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ( · ‘𝑧) → (⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
67	66	ralima 7114	. . . . . . . . 9 ⊢ (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
68	58, 65, 67	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
69		df-ima 5602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌))
70		f1ofo 6723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→𝑍 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto→𝑍)
71		forn 6691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto→𝑍 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
72	49, 70, 71	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
73	69, 72	eqtrid 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
74	73	raleqdv 3348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
75	68, 74	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
76	55, 75	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
77	76	r19.21bi 3134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
78	44, 46, 49, 51, 77	fsumf1o 15435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
79	43, 78	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
80	39, 79	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)
81	18, 26, 80	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  ⦋csb 3832   ⊆ wss 3887  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ran crn 5590   ↾ cres 5591   “ cima 5592   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  1c1 10872   · cmul 10876  ℕcn 11973  ...cfz 13239  Σcsu 15397   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-dvds 15964  df-gcd 16202

This theorem is referenced by:  sgmmul  26349  dchrisum0fmul  26654