MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdsmul 26567
Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that "Ξ£π‘˜ βˆ₯ 𝑁𝐹(π‘˜) is a multiplicative function if 𝐹 is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
dvdsmulf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dvdsmulf1o.3 (πœ‘ β†’ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x 𝑋 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀}
dvdsmulf1o.y π‘Œ = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}
dvdsmulf1o.z 𝑍 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑁)}
fsumdvdsmul.4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
fsumdvdsmul.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fsumdvdsmul.6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
fsumdvdsmul.7 (𝑖 = (𝑗 Β· π‘˜) β†’ 𝐢 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmul (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐷,𝑖   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   𝑖,𝑗,π‘˜,𝑋   𝐡,𝑗   𝐢,𝑗,π‘˜   𝑖,π‘Œ,𝑗,π‘˜   𝑖,𝑍,𝑗   π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐡(π‘₯,𝑖,π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑖)   𝐷(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑁(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem fsumdvdsmul
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13887 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5 𝑋 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀}
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 dvdsssfz1 16208 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀} βŠ† (1...𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀} βŠ† (1...𝑀))
62, 5eqsstrid 3996 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (1...𝑀))
71, 6ssfid 9217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8 fzfid 13887 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
9 dvdsmulf1o.y . . . . . 6 π‘Œ = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}
10 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
11 dvdsssfz1 16208 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
139, 12eqsstrid 3996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (1...𝑁))
148, 13ssfid 9217 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
15 fsumdvdsmul.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1614, 15fsumcl 15626 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ β„‚)
17 fsumdvdsmul.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
187, 16, 17fsummulc1 15678 . 2 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡))
1914adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ Fin)
2015adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2119, 17, 20fsummulc2 15677 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ (𝐴 Β· 𝐡))
22 fsumdvdsmul.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
2322anassrs 469 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
2423sumeq2dv 15596 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ (𝐴 Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
2521, 24eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
2625sumeq2dv 15596 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
27 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ( Β· β€˜π‘§) = ( Β· β€˜βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ©))
28 df-ov 7364 . . . . . . 7 (𝑗 Β· π‘˜) = ( Β· β€˜βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ©)
2927, 28eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ( Β· β€˜π‘§) = (𝑗 Β· π‘˜))
3029csbeq1d 3863 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ = ⦋(𝑗 Β· π‘˜) / π‘–β¦ŒπΆ)
31 ovex 7394 . . . . . 6 (𝑗 Β· π‘˜) ∈ V
32 fsumdvdsmul.7 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑗 Β· π‘˜) β†’ 𝐢 = 𝐷)
3331, 32csbie 3895 . . . . 5 ⦋(𝑗 Β· π‘˜) / π‘–β¦ŒπΆ = 𝐷
3430, 33eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ = 𝐷)
3517adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3615adantrl 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3735, 36mulcld 11183 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
3822, 37eqeltrrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
3934, 7, 14, 38fsumxp 15665 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
40 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑀𝐢
41 nfcsb1v 3884 . . . . 5 Ⅎ𝑖⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ
42 csbeq1a 3873 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 β†’ 𝐢 = ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ)
4340, 41, 42cbvsumi 15590 . . . 4 Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢 = Σ𝑀 ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ
44 csbeq1 3862 . . . . 5 (𝑀 = ( Β· β€˜π‘§) β†’ ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ = ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
45 xpfi 9267 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ π‘Œ ∈ Fin) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ Fin)
467, 14, 45syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ Fin)
47 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
48 dvdsmulf1o.z . . . . . 6 𝑍 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑁)}
493, 10, 47, 2, 9, 48dvdsmulf1o 26566 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-onto→𝑍)
50 fvres 6865 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) = ( Β· β€˜π‘§))
5150adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) = ( Β· β€˜π‘§))
5238ralrimivva 3194 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 ∈ β„‚)
5334eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ (⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ 𝐷 ∈ β„‚))
5453ralxp 5801 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 ∈ β„‚)
5552, 54sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
56 ax-mulf 11139 . . . . . . . . . 10 Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
57 ffn 6672 . . . . . . . . . 10 ( Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚)
592ssrab3 4044 . . . . . . . . . . 11 𝑋 βŠ† β„•
60 nnsscn 12166 . . . . . . . . . . 11 β„• βŠ† β„‚
6159, 60sstri 3957 . . . . . . . . . 10 𝑋 βŠ† β„‚
629ssrab3 4044 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ βŠ† β„•
6362, 60sstri 3957 . . . . . . . . . 10 π‘Œ βŠ† β„‚
64 xpss12 5652 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
6561, 63, 64mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
6644eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = ( Β· β€˜π‘§) β†’ (⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
6766ralima 7192 . . . . . . . . 9 (( Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
6858, 65, 67mp2an 691 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
69 df-ima 5650 . . . . . . . . . 10 ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))
70 f1ofo 6795 . . . . . . . . . . 11 (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-onto→𝑍 β†’ ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑍)
71 forn 6763 . . . . . . . . . . 11 (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑍 β†’ ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7249, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7369, 72eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7473raleqdv 3312 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
7568, 74bitr3id 285 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
7655, 75mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
7776r19.21bi 3233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
7844, 46, 49, 51, 77fsumf1o 15616 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑀 ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
7943, 78eqtrid 2785 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
8039, 79eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
8118, 26, 803eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  β¦‹csb 3859   βŠ† wss 3914  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  1c1 11060   Β· cmul 11064  β„•cn 12161  ...cfz 13433  Ξ£csu 15579   βˆ₯ cdvds 16144   gcd cgcd 16382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-dvds 16145  df-gcd 16383
This theorem is referenced by:  sgmmul  26572  dchrisum0fmul  26877
  Copyright terms: Public domain W3C validator