Theorem fsummsnunz 15812

Description: A finite sum all of whose summands are integers is itself an integer (case where the summation set is the union of a finite set and a singleton). (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.) (Revised by AV, 17-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fsummsnunz	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummsnunz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3866	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
2		nfcv 2924	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		nfcsb1v 3876	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
4	1, 2, 3	cbvsum 15753	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
5		snfi 9038	. . . . 5 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → {𝑍} ∈ Fin)
7		unfi 9153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
8	6, 7	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
9		rspcsbela 4402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
10	9	expcom 418	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍}) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ))
12	11	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
13	8, 12	fsumzcl 15793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
14	4, 13	eqeltrid 2866	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑍})𝐵 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ⦋csb 3852   ∪ cun 3902  {csn 4588  Fincfn 8941  ℤcz 12597  Σcsu 15744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745

This theorem is used by: (None)