Theorem sumfc 15760

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumfc	⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumfc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fvmpt2i 7001	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
3	2	sumeq2i 15749	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ( I ‘𝐵)
4		fveq2 6882	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘))
5		nffvmpt1 6893	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗)
6		nfcv 2931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)
7	4, 5, 6	cbvsum 15746	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑘)
8		sum2id 15759	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ( I ‘𝐵)
9	3, 7, 8	3eqtr4i 2802	1 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1567   ↦ cmpt 5196   I cid 5556  ‘cfv 6537  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  fsumf1o  15774  sumss  15775  fsumss  15776  fsumcl2lem  15782  fsumadd  15791  isumclim3  15810  isummulc2  15813  fsummulc2  15835  fsumrelem  15859  isumshft  15893  fprodefsum  16149  gsumfsum  21553