MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumfc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumfc 14663
Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumfc Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 𝐵
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumfc
StepHypRef Expression
1 eqid 2806 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
21fvmpt2i 6511 . . 3 (𝑘𝐴 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = ( I ‘𝐵))
32sumeq2i 14652 . 2 Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘𝐴 ( I ‘𝐵)
4 nffvmpt1 6419 . . 3 𝑘((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗)
5 nfcv 2948 . . 3 𝑗((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
6 fveq2 6408 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
74, 5, 6cbvsumi 14650 . 2 Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
8 sum2id 14662 . 2 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 ( I ‘𝐵)
93, 7, 83eqtr4i 2838 1 Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  cmpt 4923   I cid 5218  cfv 6101  Σcsu 14639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550  df-seq 13025  df-sum 14640
This theorem is referenced by:  fsumf1o  14677  sumss  14678  fsumss  14679  fsumcl2lem  14685  fsumadd  14693  isumclim3  14713  isummulc2  14716  fsummulc2  14738  fsumrelem  14761  isumshft  14793  fprodefsum  15045  gsumfsum  20021
  Copyright terms: Public domain W3C validator